Два определения для определенного интеграла.

Пусть функция определена и ограничена на отрезке . Конечную совокупность точек , где назовем разбиением отрезка и обозначим через . Положим , , .Тогда назовём - верхней суммой Дарбу, а - нижней суммой Дарбу и положим , . При этом для любой ограниченной функции на отрезке имеем . Определение 1. Если , то функция называется интегрируемой в смысле Римана на и число называется определенным интегралом от на . Обозначать будем так: .

Это определение эквивалентно такому: Пусть – разбиение и - совокупность точек таких, что , тогда интегрируема на , если существует и не зависит от выбора точек , а также выбора разбиения . Таким образом, , где (*).Предел (*) будем понимать следующим образом: каждому числу отвечает такое d>0, что при любом способе дробления, при котором l<d и при любом выборе в соответствующих частотных промежутках значений , будет выполнятся неравенство . Из определения определенного интеграла как предела интегральной суммы непосредственно следует, что величина интеграла (*) (если он существует) зависит только от вида функции и от чисел a и b. Следовательно, если задана и пределы интегрирования a и b закреплены, то интеграл (*) определяется однозначно и представляет собой некоторое число.

Отсюда, в частности, следует, что определенный интеграл не зависит от переменной интегрирования. Поэтому можно заменить любой другой буквой, и это не отразится на величине интеграла. Иными словами, определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования, то есть