Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.

Интегралы вида всегда берутся в конечном виде. Для их выражения, кроме функций, встречающихся при интегрировании рациональных функций, нужны лишь еще тригонометрические функции. Возможны случаи, когда цель может быть достигнута с помощью более простых подстановок:

1. Если функция R(cosx, sinx) не изменяется при одновременной замене sinx на –sinx; cosx на –cosx, то удобна подстановка x=tgx (x=ctgx), где , т.е. R(cosx,sinx)=R(-cosx,-sinx). Итак,

. Таким образом, .

2. Если при замене sinx на –sinx подынтегральная функция изменяет знак. Т.е. R(cosx, -sinx)=-R(cosx, sinx), то рационализация достигается заменой , , .

3. Если при замене cosx на –cosx R(cosx, sinx) меняет знак, то рационализация достигается подстановкой , ,

11. Интегралы вида ,

где m,n – целые.

Основная задача нахождения таких интегралов сводится к понижению степени или . Для этого можно воспользоваться тригонометрическими формулами приведения.

а). Пусть одно из m и n нечетное, m=2p+1. . Воспользуемся формулами , ,

б). Пусть m, n - четные неотрицательные. Тогда воспользовавшись формулами: (*), получим

Тогда указанный выше прием а) не приводит к цели и в этом случае, предпочтительней прием, основанный на применении формул (*), а именно пусть m=2k, n=2l, и k>lk=r+l, тогда .

Применяя формулу бинома Ньютона и затем перемножая, мы получим сумму интегралов того же вида , но с показателями, меньшими первоначальных. Те из них, в которых хотя бы один из показателей p и q оказывается нечетным, вычисляются приемом а). Интегралы, в которых оба показателя p и q четные могут быть вычислены с помощью многократного применения формул (*).

12.Интегралы вида , ,, где .

Подынтегральные функции легко приводятся к сумме первых степеней синусов и косинусов с помощью известных формул тригонометрии.
, , .