Функции нескольких переменных. Определение функций нескольких переменных

Определение 11. Рассмотрим множество . Говорят, что на множестве задана функция переменных , если задано правило, сопоставляющее каждому вектору одно определенное число , обозначаемое и называемое значением функции в точке . Множество называется областью определения функции. Поскольку в качестве можно взять любой вектор из множества , компоненты , а также значений функции можно рассматривать как переменные величины. Компоненты вектора называются независимыми переменными, а - зависимой переменной. Говорят также, что переменная является функцией от переменной .Замечание 1. Как и в случае функции одной переменной, для обозначения функции также будем использовать запись вида , если хотим уточнить, как обозначены независимые переменные, а также запись вида , указывающую на обозначение как независимых, так и зависимой переменных. Для функции двух переменных часто обозначают независимые переменные и : . Определение 12. Пусть функция определена на множестве . Графиком функции называется множество точек пространства вида , где . Определение 13. Множеством уровня функции переменных , соответствующим числу , называется множество точек из области определения , удовлетворяющих уравнению

Если , уравнение (10) можно записать Если (11) является уравнением линии, множество уровня называют также линией уровня. Заметим, что множество уровня может быть также пустым для некоторых . Замечание 2. Ниже будут рассмотрены условия, при которых множество точек, удовлетворяющих условию (11), является графиком некоторой функции одной переменной и представляет собой уравнение линии. Определение 14. Функция , определенная на множестве , называется ограниченной на , если существует такое число , что для всех .Аналогично можно сформулировать определение предела на языке последовательностей для функции нескольких переменных. Для этого введем понятие последовательности векторов и предела последовательности векторов. Определение 15. Последовательностью векторов называется бесконечное множество векторов , занумерованных натуральными числами. Определение 16. Вектор называется пределом последовательности векторов : , если для любого положительного числа найдется такой номер , что для всех справедливо или, что то же самое, .Понятия последовательности векторов и ее предела обобщают введенные ранее аналогичные понятия для чисел. Определение 17. Пусть функция определена на множестве , - предельная точка множества . Говорят, что число является пределом функции при стремлении к , если для любой последовательности точек множества , отличных от , такой, что последовательность чисел сходится к .Аналогично случаю функции одной переменной для пределов функций нескольких переменных справедливы соответствующие теоремы о пределах суммы, разности, произведения и частного.Следующие примеры иллюстрируют понятие передела функции нескольких переменных. Из определения 17 следует, что не существует, так как для различных последовательностей точек из , сходящиеся к , соответствующие последовательности значений функции имеют разные пределы.

Определение 18. Пусть функция определена на множестве , - предельная точка множества . Если , то функция называется бесконечно малой в точке .

Следующая теорема устанавливает свойства бесконечно малых функций. Приведем ее без доказательства. Определение 19. Пусть функция определена на множестве , - предельная точка множества . Функция называется непрерывной в точке , если существует предел функции в , равный значению функции в :

Равенство (14) означает, что взяв точку достаточно близкую к , можно получить значение функции , сколь угодно близкое к значению , т.е. сделать разность сколь угодно малой.Совершенно аналогично случаю функции одной переменной можно доказать, что если функции нескольких переменных и непрерывны в точке , то функции , а если , то и , также непрерывны в точке .В главе 1 были перечислены элементарные функции одной переменной. С помощью этих функций, а также конечного числа операций сложения, умножения, деления и суперпозиции из переменных можно составить функцию переменных. так образованные функции переменных также будем называть элементарными. Определение 20. Функция нескольких переменных называется непрерывной на множестве , если она непрерывна в каждой точке множества .Следующая теорема является обобщением теоремы Вейерштрасса на случай функции нескольких переменных. Приведем эту теорему без доказательства.Т еорема 3. Всякая функция, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве, принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Теорема 4 (без доказательства). Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и непрерывна в точке . Если , то существует такая – -окрестность точки , что для всех . Иными словами, если непрерывная в точке функция принимает в этой точке положительное или отрицательное значение, то она принимает значения того же знака во всех точках, достаточно близких к данной.