Понятие пространства . Непрерывность. Область определения. Область значений. Понятие линий уровня.

Определение n-мерного пространства. Множество всевозможных упорядоченных систем x = (x₁,..., x n) из n действительных чисел x₁,..., x n называется n-мерным арифметическим евклидовым пространством и обозначается R ⁿ, если для любых его элементов x, y и для любых действительных чисел α, β определены линейная комбинация αx + βy и скалярное произведение (x, y) по правилам αx + βy = (αx₁ + βy₁,..., αx n + βy n),(x, y) = x₁y₁ +... + x n y n соответственно.

Множество всех упорядоченных систем x = (x₁,..., x n), x i ∈ R, i = 1,..., n, для которых определено расстояние, называется n-мерным арифметическим евклидовым точечным пространством и также обозначается через R ⁿ. Элементы x = (x₁,..., x n) называются точками, а числа x i ∈ R, i = 1,..., n, – координатами

Определение. Переменная U называется Функцией N переменных (аргументов X₁,..., Х n, если каждой системе значений X₁,..., Х n, из области их изменения, соответствует определенное значение U.

Обозначение. U=F(X₁,..., Х n) – функциональная зависимость U от X₁,..., Х n, где после символа функции (которым может быть не только буква F, но и другие буквы) в скобках указываются все переменные, от которых зависит данная функция.

Областью определения (существования) функции называется совокупность всех точек, в которых она имеет определенные действительные значения.

Графиком функции двух переменных называют множество {(x, y, z) ∈ R³|(x, y) ∈ M, z = f (x, y)}. Аналогично определяется график функции трех и более переменных.

Уровнем (c-уровнем, c ∈ R) функции u = f (x), x ∈ M ⊂ R n называют множество точек x ∈ M таких, что f (x) = c. В случае n = 2 уровни функции называют линиями уровня; при n = 3 – поверхностями уровня.

Линии уровня. Для лучшего понимания этого термина будем сравнивать ось OZ с высотой: чем больше значение «зет» – тем больше высота, чем меньше значение «зет» – тем высота меньше. Также высота может быть и отрицательной. Функция z=f(x,y) в своей области определения представляет собой пространственный график, для определённости и большей наглядности будем считать, что это тривиальная поверхность. Образно говоря, линии уровня – это горизонтальные «срезы» поверхности на различных высотах. Данные «срезы» или правильнее сказать, сечения проводятся плоскостями z=C=const, после чего проецируются на плоскость XOY. Определение: линией уровня функции z=f(x,y) называется линия f(x,y) = C на плоскости XOY, в каждой точке которой функция сохраняет постоянное значение: z=C=const. Таким образом, линии уровня помогают выяснить, как выглядит та или иная поверхность – причём помогают без построения трёхмерного чертежа.

Функция называется непрерывной в точке , принадлежащей области определения функции, если .

Функция называется непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Открытой областью (областью) называется множество точек плоскости, обладающих следующими свойствами: каждая точка принадлежит области вместе с некоторой окрестностью; всякие две точки области можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в этой плоскости.

Замкнутой областью называется открытая область вместе со своей границей.

Ограниченной областью является область, для которой можно подобрать круг, полностью ее покрывающий.

Область называется односвязной, если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит этой области.

Всякая непрерывная в ограниченной замкнутой области функция нескольких переменных имеет в этой области максимальное и минимальное значения, ограниченна, принимает все промежуточные значения между любыми двумя своими значениями.