Условия существования определенного интеграла.

Теорема 8 (достаточное условие интегрируемости). Если функция ¦(x) непрерывна в промежутке [a,b], то она интегрируема на этом промежутке, т.е. существует интеграл . Определение 6. Пусть функция ¦(x) определена в промежутке [a,b]. Разобьем этот промежуток на произвольных частей точками . В каждом из полученных частных промежутков , где , выберем произвольную точку . Вычислим значение функции и умножим его на разность . После этого составим сумму Римана , (1) (иногда её называют интегральной суммой) Определение. Функция , для которой на отрезке [a; b] существует определенный интеграл, называется интегрируемой на этом отрезке.Естественно возникает вопрос: при каких условиях функция , определенная на [a; b], интегрируема на этом отрезке? Не приводя доказательств, рассмотрим эти условия.

Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке [a; b], то она интегрируема на этом отрезке.

Сформулируем и более общую теорему об интегрируемости. Теорема 2. Если функция ограничена на [a; b] и непрерывна на нем всюду, кроме конечного числа точек, то она интегрируема на этом отрезке.

16)Свойства определенного интеграла

I. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. , где х, t – любые буквы.

II. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю.

III. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный.

IV. Если промежуток интегрирования [a,b] разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутке [a,b], равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам.

V. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

VI. Определенной интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций.

17. Основная теорема анализа (теорема Барроу).

Пусть и непрерывна в . Тогда дифференцируема в этой точке и её производная равна .

Доказательство:

Приращение при в силу непрерывности в точке выполняется Рассмотрим . По первому утверждению получаем Устремляя , получаем

18. Формула Ньютона – Лейбница.

Теорема 10(формула Ньютона – Лейбница). Если – какая-либо первообразная функции ¦(x), то справедлива формула .

Доказательство.

Раз - тоже первообразная для ¦(x), то выберем за первообразную . Это равенство является справедливым для любого . Выберем . Тогда . Теперь . . Значит .

Правило. Значение определенного интеграла от непрерывной функции равно разности значений любой первообразной для нее при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Пример 19. Найти интегралы , , .

Решение. ; ;

.

19. Метод Остроградского.

Иногда при интегрировании правильной рациональной дроби используют метод, суть которого состоит в выделении рациональной части первообразной.

Пусть имеет кратные корни (включая и комплексные). Составим многочлен так, чтобы все его корни его были простые, и каждый корень являлся бы корнем многочлена . Тогда , где корни есть корни многочлена с кратностями на единицу меньше. В частности, все простые корни будут корнями и не будут корнями .

Справедливо соотношение (1), где и - многочлены с неопределенными коэффициентами, степени которых соответственно на единицу меньше степеней многочленов и . Неопределенные коэффициенты многочленов и вычисляются при помощи дифференцирования равенства (1). Обычно метод Остроградского применяется, если многочлен имеет несколько корней большой кратности.

Пример 18. Вычислить .

Решение. Полагаем . Дифференцируя это равенство, получаем

. Откуда

(2).

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях равенства (2).

.

Следовательно, .

20. Интегрирование функций вида , где рациональная функция.

Выделяя из рациональной дроби целую часть – многочлен , т.е. и представляя дробь в виде сумму простейших дробей, видим, что интегрирование функции приводится к вычислению интегралов следующих типов:а). , -многочлен. б). , –константа. в). , - константы и трехчлен не имеет действительных корней

21. Интеграл вида подстановкой приводится к виду, рассмотренному в предыдущем пункте. Дифференцируя это тождество, имеем

. Откуда . Для нахождения неопределенных коэффициентов и запишем систему уравнений, приравняв коэффициенты при соответствующих степенях

. Откуда . Следовательно,

22. .

Рассмотрим вычисление интеграла. Предположим сначала, что , тогда . Поскольку , то . Первый из полученных интегралов является табличным. Для вычисления интеграла применяется подстановка Абеля . В общем случае, в интеграле делают замену переменного так, чтобы во вновь полученных трехчленах одновременно исчезли слагаемые с первой степенью. Это достигается, например, с помощью дробно-линейной подстановки , если и , если . В результате получим интеграл . Представим его в виде . К первому из этих интегралов применяем подстановку , а ко второму – подстановку .

23. Несобственные интегралы.

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий.

• Область интегрирования является бесконечной. Например, является бесконечным интервалом .
• Функция f(x) неограничена в области интегрирования.

Если интервал [a,b] конечный, и функция интегрируема по Риману, то значение несобственного интеграла совпадает с значением определённого интеграла.