Возвратные интегралы.

.

Вычислим второй интеграл . Подставляя последний результат в предыдущее равенство, находим

Объединяя оба интеграла в левой части, будем иметь

Отсюда . В результате интегрирования по частям получается равенство такого вида I = uv+kI, где k ¹1. Объединяя его с интегралом в левой части, найдем ответ.

Если в результате повторного интегрирования получается ничего не дающее тождество, значит, интегрирование проведено не рационально.

Полезно запомнить 5 возвратных интегралов.

1). 2). 3).

4). 5).

Пример 6. В качестве еще одного примера применения метода интегрирования по частям выведем рекуррентную формулу для вычисления интеграла. I_n= ,

Применяя к этому интегралу формулу по частям, полагая , мы получим Последний интеграл преобразуем следующим образом .

Подставляя значение этого интеграла в предыдущее равенство, получим . Откуда .

Эта формула позволяет свести вычисление интеграла I_n+1 к вычислению интеграла I_n и, следовательно, дает возможность шаг за шагом понизить значение n до 1 и в результате прийти к известному интегралу Такие формулы называются рекуррентными, то есть «возвращающимися» к ранее полученным результатам. Полагая в (**) , мы найдем .