Метод интегрирования по частям.

Метод интегрирования по частям основан на обращении формулы дифференцирования произведения двух функций.

Пусть и –дифференциалы функции от х. Тогда , откуда . Проинтегрировав обе части этого равенства, получим формулу (3) Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Она позволяет свести вычисление интеграла к вычислению интеграла , который может оказаться более простым для интегрирования.

Пример 5. .Разобранный пример показывает, что применение метода интегрирования по частям состоит в том, что подынтегральное выражение f(х)dx представляется в виде произведения двух множителей и , причем последний содержит в себе и . Общих правил для разложения подынтегрального выражения на указанные множители, к сожалению, дать нельзя. Однако следует иметь ввиду, что разложение на множители подынтегрального выражения нужно проводить так, чтобы в результате дифференцирования одного множителя (то есть ) и интегрирования другого множителя (то есть ) подынтегральное выражение интеграла правой части формулы (3) по возможности легко интегрировалось. Разумеется, не всегда за счет указанной разбивки подынтегрального выражения на множители и формула интегрирования по частям приводит к интегралу, более простому для интегрирования. Замечание. Правило интегрирования по частям имеет более узкую область применения, чем метод замены переменной. Однако полезно запомнить семь типов интегралов, которые только и могут быть вычислены с помощью метода интегрирования по частям.

1). 2). 3). 4). 5). 6). 7).

В первом, втором и третьем интегралах после n-кратного интегрирования по частям (u=xⁿ) получим табличные интегралы. В интегралах 4), 5) и 6) от дифференцирования упражняется трансцендентный множитель (u=lnx; u=arctgx; u=arcsunx; u=lnⁿx).