Метод подстановки (или замены переменной в неопределенном интеграле).

Определение первообразной и неопределенного интеграл.

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной (или примитивной) для функции ¦(x) на некотором множестве X, если для любого x Î X выполняется равенство Совокупность всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом.В силу установившейся традиции равенство (1) без явного обозначения множества справа, т.е. вида, при этом C называется произвольной постоянной. Таким образом, если F - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение где С - произвольная постоянная.

Свойства неопределенного интеграла. В приведенных ниже формулах f и g - функции переменной x, F - первообразная функции f, а, k, C - постоянные величины.

 . . .

Таблица интегралов. Свойства инвариантности формул интегрирования.

Таблица основных интегралов

1. 2 3 4

5. 6. , в частности 7.

8. 9.

10.

11.

12. 13. 14.

Свойство инвариантности формул интегрирования.

Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид при подстановке в нее вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции от нее, т.е. если , то и , где u=£(x) – любая дифференцируемая функция от x.

Доказательство. Из того, что Þ . Возьмем теперь функцию F(u)=F[£(x)] для ее дифференциала в силу инвариантности вида первого дифференциала функции имеем: , отсюда .Это правило очень важно. Основная таблица интегралов в силу этого правила оказывается справедливой независимо от того является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой дифференцируемой функцией ее, таким образом, основная таблица сразу значительно расширяется.

Метод подстановки (или замены переменной в неопределенном интеграле).

Пусть мы имеем интеграл . Введем новую переменную t, вместо x, положив x=j(t), где j(t) монотонна(из монотонности функции x=j(t) вытекает существование обратной функции t=Y(x)) и дифференцируема (из дифференцируемости следует непрерывность), тогда будет справедлива формула (2). Действительно, используя свойство 2) неопределенного интеграла, продифференцируем обе части этого равенства. С одной стороны , а с другой (т.к. ).Таким образом, обе части формулы (2) имеют один и тот же дифференциал и потому выражают собой одно и то же семейство первообразных для функции ¦(x). Это и доказывает равенство (2) в том смысле, что правая и левая части его могут отличаться между собой разве лишь на постоянное слагаемое. При замене переменной часто бывает выгоднее задавать x не как функцию t, а, наоборот, задавать t как функцию от x и писать подстановку в виде t=Y(x). Теоретически оба способа равнозначны, т.к. если функция x=j(x) монотонна, то всегда можно выразить t как функцию x и написать t=Y(x) (или ). Однако при вычислении некоторых интегралов подстановка t=Y(x) может оказаться более удобной. Вообще, если подынтегральное выражение не содержит других иррациональностей, кроме корня из линейной функции , то следует применять подстановку .