Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Сжимающие отображения





Непустое мн – во наз. метрич. пространством , если для любых его двух элементов х, у определенодействительное число ρ(х,у) называется расстояние между х и у, и удовлетворяющее требованиям 1) ρ(х,у)>=0, ρ(х,у)=0 Û х = у; 2) ρ(х,у) = ρ(y,x);3) " х,у,z ÎZ, ρ(х,у)+ ρ(y,z)<= ρ(x,z) – аксиома треугольника. Частным случаем метрического пространства явл. числовая прямая: расстоянием м – у точками определяется как ρ(х1,x2)=| х2 – х1|; все Евклидово пр – во; трехмерное пр – во. Метр – ким пр – вом оказывается и мн – во функций, опред на [a,b], если расстояние м – у ними определ как ρ(f,g) = max|f(x)-g(x)| по отрезку [a,b] . Это пр – во обознС[a,b]. Среди метр пр – в особый интерес представляют полные метрические пр – ва. Метр пр – во М наз – ся полным, если в нем каждая фундамент посл – сть сх – ся, т. е. если (хn) – фунд, то $ х0 Î М, такая, что lim(xn)=x0 при n®µ. Посл – стьn) точек метр пр – ва наз – ся фундаментальной, если r(хmn) ®0, при m,n ® µ. Можно рассматривать отображение метр пр – в М1®М2. В частности, М1 может оказаться совпадающим с М2, тогда говорят, что дано отобр – е пр – ва в себя. Отобр – е A называется сжим – щим, если расстояние м – у образами меньше или равно расстоянию м – ду прообразами. Точки х удовлетворяющие равенству х=Ах наз неподвижными при отображении A. Теорема Банаха.Если в нек - омполном метр пр – ве сжимающий оператор A преобразует это пр – во в себя, то существует единственная неподвижная точка. Д – во: Пусть х0 = произ точка пр – ва М. Обозначим ее образ: х1=Ах0, … , хn=Ахn-1, … . Убедимся, что данная посл – сть (хn) фундаментальная. Пусть m>n, тогда с учетом сжимающего отображения имеем: r(хmn)= r(Ахm-1,Ахn-1)<= q * r(хm-1n-1)= q*r(Ахm-1, Ахn-2)<= q2 *r(хm-2n-2) <=…<=qn* r(хm-n0)<= qn * [r(х01)+…+ r(хm-n-1m-n)]<= qn * [1+q+q2+…+qn-m-1]r(х01) = (по акс треугольника) r(х01). При достаточно больших n: - ск угодно малая, т. к. 0<q<1. В силу полноты М (хn)®х, где х Î М, Ах=Аlim(хn)=lim(A хn)=lim хn+1 =x. Т. е. х - неподвижная точка. Д – ем ее единств: если Ах=х и Ау=у, ρ(х,у)=ρ(Ах,Ау)<= q ρ(х,у). Это возможно лишь при ρ(х,у)º 0, т. е. при х=у. ч т д.



Примеры использования принципа сжим-х отображений (приложения теоремы Банаха). Он исп-ся при док-ве существования и единственности решения уравнения разных типов. 1) решение алгебр-х и трансцендентных уравнений F(x)=0 методом итераций (последовательных приближений). пусть дано уравнение F(x)=0, xÎ[a,b]. Перепишем его в виде x=f(x), где f(x)=x+F(x). Предположим, что для f(x) справедливо условие Липшица: ½f(x2)-f(x1)½£k½x2-x1½, где x1,x2Î[a,b] и 0<k<1 (оно заведомо выполнено, если f(x) дифференцируема и ½f¢½£k<1). По предыд. теореме для f(x) $ единств. неподв. точка х0, т.е. решение ур-ния F(x)=0. К нему можно построить последоват. приближения, начав с произвольного х1. Затем x2=f(x1), x3=f(x2),.... Получим (хn)®х0. См. рис.

 

 

2)Теорема о существовании неявной функции. Пусть f(x,y) определена для a£x£b и -¥<y<¥; непрерывна по х. Имеет производную fy, удовл. нер-ву 0<m£f¢(x,y)£M. Тогда уравнение f(x,y)=0 имеет единств. непр. решение y=y0(x) на [a,b]. Док-во: Рассмотрим в пр-ве С[a,b] оператор Ау=у-1/M f(x,y). Его неподвижная точка у0 (Ау00), очевидно, будет решением ур-ния f(x,y)=0. Дост-но убедиться, что применима теор. Банаха, т.е. А – сжимающий. Пусть у1(х), у2(х)ÎС[a,b]. Тогда r(Ay1,Ay2)=max½Ay1-Ay2½=max½(y1-y2)-1/M(f(x,y1)-f(x,y2))½=max½(y1-y2)-1/Mf¢(x, y1+a(y2-y1)).(y1-y2)½£

½1-m/M½½y1-y2½£a1r(y1,y2), a1=1-m/M. Тогда 0<a1<1 и А – сжимающий. По т. Банаха $ единств. у=у0(х). Это неявная функция, заданная уравнением f(x,y)=0. Замечание: можно сформулировать теорему в окрестности точки (х0, у0), где f(x0,y0)=0. Тогда класс функций у=у(х) подчиняется дополнит. условию : у0=у(х0).

3)Теорема о существовании и единственности решения у=у(х) диф.ур. у¢=f(x,y) в некоторой окрестности точки х0, подчиненного условию у=у0 при х=х0. Пусть f(x,y) – непр. по переменной х; f¢y(x,y) $ и ограничена: ½ f¢y(x,y)½£M в окрестности точки (х0, у0). Легко видеть, что уравнение у¢=f(x,y) эквивалентно уравнению у=у0+∫f(x,y)dx, если потребовать от решения у(х): у=у0 при х=х0. Достаточно убедиться , что оператор Ау=у0+∫f(x,y)dx сжимающий в С[a,b] для непр. функций у=у(х), где у0=у(х0). Здесь [a,b] достаточно малый отрезок в окрестности точки х0; х0 – его внутренняя точка. Имеем: r(Ay1, Ay2)=max([a,b])½Ay1-Ay2½£

½∫max([a,b])│f(x,y1)-f(x,y2)│dx│=│∫max([a,b])(│f′y(x,y1+α(y2-y1))││y2-y1│)dx│≤Mρ(y1,y2)│x-x0│. Ясно, что для достаточно малой окр-ти точки х0 разность │х-х0│ мала и значит оператор А – сжимающий. Отрезок [a,b] надо выбрать так, чтобы он находился в пределах проекции исходной окрестности точки (х0, у0) на ось ОХ и выполнялось нер-во М(b-a)<1. (см. рис)



 

 

По теореме Банаха $ единств. неподвижная точка Ау=у. Это ф-я у=у(х) (где у0=у(х0)), которая явл. решением диф. ур. у¢=f(x,y).






Date: 2016-02-19; view: 172; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2019 year. (0.007 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию