Сжимающие отображения

Непустое мн – во наз. метрич. пространством, если для любых его двух элементов х, у определенодействительное число ρ(х,у) называется расстояние между х и у, и удовлетворяющее требованиям 1) ρ(х,у)>=0, ρ(х,у)=0 Û х = у; 2) ρ(х,у) = ρ(y,x);3) " х,у,z ÎZ, ρ(х,у)+ ρ(y,z)<= ρ(x,z) – аксиома треугольника. Частным случаем метрического пространства явл. числовая прямая: расстоянием м – у точками определяется как ρ(х1,x2)=| х2 – х1|; все Евклидово пр – во; трехмерное пр – во. Метр – ким пр – вом оказывается и мн – во функций, опред на [a,b], если расстояние м – у ними определ как ρ(f,g) = max|f(x)-g(x)| по отрезку [a,b]. Это пр – во обознС_[a,b]. Среди метр пр – в особый интерес представляют полные метрические пр – ва. Метр пр – во М наз – ся полным, если в нем каждая фундамент посл – сть сх – ся, т. е. если (х_n) – фунд, то $ х₀ Î М, такая, что lim(x_n)=x₀ при n®µ. Посл – сть (х_n) точек метр пр – ва наз – ся фундаментальной, если r(х_m,х_n) ®0, при m,n ® µ. Можно рассматривать отображение метр пр – в М1®М2. В частности, М1 может оказаться совпадающим с М2, тогда говорят, что дано отобр – е пр – ва в себя. Отобр – е A называется сжим – щим, если расстояние м – у образами меньше или равно расстоянию м – ду прообразами. Точки х удовлетворяющие равенству х=Ах наз неподвижными при отображении A. Теорема Банаха. Если в нек - омполном метр пр – ве сжимающий оператор A преобразует это пр – во в себя, то существует единственная неподвижная точка. Д – во: Пусть х₀ = произ точка пр – ва М. Обозначим ее образ: х₁=Ах₀, …, х_n=Ах_n-1, …. Убедимся, что данная посл – сть (х_n) фундаментальная. Пусть m>n, тогда с учетом сжимающего отображения имеем: r(х_m,х_n)= r(Ах_m-1,Ах_n-1)<= q * r(х_m-1,х_n-1)= q*r(Ах_m-1, Ах_n-2)<= q² *r(х_m-2,х_n-2) <=…<=qⁿ* r(х_m-n,х₀)<= qⁿ * [r(х₀,х₁)+…+ r(х_m-n-1,х_m-n)]<= qⁿ * [1+q+q²+…+q^n-m-1]r(х₀,х₁) = (по акс треугольника) r(х₀,х₁). При достаточно больших n: - ск угодно малая, т. к. 0<q<1. В силу полноты М (х_n)®х, где х Î М, Ах =Аlim(х_n)=lim(A х_n)=lim х_n+1 = x. Т. е. х - неподвижная точка. Д – ем ее единств: если Ах=х и Ау=у, ρ(х,у)=ρ(Ах,Ау)<= q ρ(х,у). Это возможно лишь при ρ(х,у)º 0, т. е. при х=у. ч т д.

Примеры использования принципа сжим-х отображений (приложения теоремы Банаха). Он исп-ся при док-ве существования и единственности решения уравнения разных типов. 1) решение алгебр-х и трансцендентных уравнений F(x)=0 методом итераций (последовательных приближений). пусть дано уравнение F(x)=0, xÎ[a,b]. Перепишем его в виде x=f(x), где f(x)=x+F(x). Предположим, что для f(x) справедливо условие Липшица: ½f(x₂)-f(x₁)½£k½x₂-x₁½, где x₁,x₂Î[a,b] и 0<k<1 (оно заведомо выполнено, если f(x) дифференцируема и ½f¢½£k<1). По предыд. теореме для f(x) $ единств. неподв. точка х₀, т.е. решение ур-ния F(x)=0. К нему можно построить последоват. приближения, начав с произвольного х₁. Затем x₂=f(x₁), x₃=f(x₂),.... Получим (х_n)®х₀. См. рис.

2)Теорема о существовании неявной функции. Пусть f(x,y) определена для a£x£b и -¥<y<¥; непрерывна по х. Имеет производную f_y, удовл. нер-ву 0<m£f¢(x,y)£M. Тогда уравнение f(x,y)=0 имеет единств. непр. решение y=y₀(x) на [a,b]. Док-во: Рассмотрим в пр-ве С_[a,b] оператор Ау=у-1/M f(x,y). Его неподвижная точка у₀ (Ау₀=у₀), очевидно, будет решением ур-ния f(x,y)=0. Дост-но убедиться, что применима теор. Банаха, т.е. А – сжимающий. Пусть у₁(х), у₂(х)ÎС_[a,b]. Тогда r(Ay₁,Ay₂)=max½Ay₁-Ay₂½=max½(y₁-y₂)-1/M(f(x,y₁)-f(x,y₂))½=max½(y₁-y₂)-1/Mf¢(x, y₁+a(y₂-y₁))^.(y₁-y₂)½£

½1-m/M½½y₁-y₂½£a₁r(y₁,y₂), a₁=1-m/M. Тогда 0<a₁<1 и А – сжимающий. По т. Банаха $ единств. у=у₀(х). Это неявная функция, заданная уравнением f(x,y)=0. Замечание: можно сформулировать теорему в окрестности точки (х₀, у₀), где f(x₀,y₀)=0. Тогда класс функций у=у(х) подчиняется дополнит. условию: у₀=у(х₀).

3)Теорема о существовании и единственности решения у=у(х) диф.ур. у¢=f(x,y) в некоторой окрестности точки х_0, подчиненного условию у=у₀ при х=х₀. Пусть f(x,y) – непр. по переменной х; f¢_y(x,y) $ и ограничена: ½ f¢_y(x,y)½£M в окрестности точки (х₀, у₀). Легко видеть, что уравнение у¢=f(x,y) эквивалентно уравнению у=у₀+∫f(x,y)dx, если потребовать от решения у(х): у=у₀ при х=х₀. Достаточно убедиться, что оператор Ау=у₀+∫f(x,y)dx сжимающий в С_[a,b] для непр. функций у=у(х), где у₀=у(х₀). Здесь [a,b] достаточно малый отрезок в окрестности точки х₀; х₀ – его внутренняя точка. Имеем: r(Ay₁, Ay₂)=max([a,b])½Ay₁-Ay₂½£

½∫max([a,b])│f(x,y₁)-f(x,y₂)│dx│=│∫max([a,b])(│f′_y(x,y₁+α(y₂-y₁))││y₂-y₁│)dx│≤Mρ(y₁,y₂)│x-x₀│. Ясно, что для достаточно малой окр-ти точки х₀ разность │х-х₀│ мала и значит оператор А – сжимающий. Отрезок [a,b] надо выбрать так, чтобы он находился в пределах проекции исходной окрестности точки (х₀, у₀) на ось ОХ и выполнялось нер-во М(b-a)<1. (см. рис)

По теореме Банаха $ единств. неподвижная точка Ау=у. Это ф-я у=у(х) (где у₀=у(х₀)), которая явл. решением диф. ур. у¢=f(x,y).