Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Векторное пространство





О:Мн-во V(a,b,c) эл-в произв.природы образует л.п. над числов.полем Р,если выполняются след.аксиомы.I1."{a,b}ÎV$!(a,b)ÎVÞсложение выполнимо и обнозначно. I2."{a,b}ÎV,a+b=b+a. I3."{a,b,c}ÎV,(a+b)+c=a+(b+c).I4.$OÎV,"aÎV,a+O=a.I5."aÎV$(-a)ÎV,a+(-a)=O.(I1-I5-абелева гр.).II1."aÎV,"αÎP,$(αa)ÎV(операция умн-ия выполнима и однозначна).II2."{α,β}ÎP,"aÎV,α(βa)=(αβ)a.II3."{α,β}ÎP,"aÎV,(α+β)a=αa+βa.II4."αÎP,"{a,b}ÎV,α{a+b)=αa+αb.II5.1ÎP,"aÎV,1*a=a. Cлед-я из аксиом:1.$!OÎV,"aÎV,a+O=a(Док-во:O1+O2= O1 и O2+O1=O2ÞO1=O2).2."aÎV,$(-a)ÎV(a,b и с-противоположные а.(b+a)+c=O+c=c.b+(a+c)=b+O=bÞc=b=-a.3."{a,b}ÎV$!xÎV,a+x=b,x=b-a.4.$aÎV,0ÎP,a*0=OÎV.5."αÎP,OÎV,α*O=OÎV(αaÎV,αa=α(a+O)=αa+αOÞO= α*O.6."αÎP,"aÎV,αa=OÞα=0 или а=O.7.α(-а)=-αа.8.(-α)a=-αa.9.α(a-b)=αa-αb,αÎP,{a,b}ÎV.10.(α-β)a=αa-βa,{α,β}ÎP,aÎV(Док:((α+(-β))а=αа+(-β)а=αа-βа).Пр-ры:1.Мн-во геом.век-в 3-хмерного пр-ва над полем действ.чисел образует дейст.л.п.2.Мн-во многочл-степени не превышающей n(<=n) над полем R с обычными операциями "+" и "* " на дейст.число явл. дейст.л.п.3.Мн-во прямоуг.матриц образ.дейст.л.п.4.Мн-во функций опред-х на [a,b] обзраз.дейст.л.п.5.Мн-во решений системы линейн.однород.ур-ии образует дейст.л.п.

Базис и размерность конечномерного(к/м) вект.пр-ва.

Опр.Л.п. наз.к/м, если оно имеет хотя бы один базис состоящий из конечного числа объектов.Рассм.базис сист.вект Pn[x],f1(x)=x, f2(x)=x2, f3(x)=x3,..., fn(x)=xn.Лин.незав.и ч/з неё выр-ся "многочлен степени<n.Эта с.век. конечнаÞпр=-во явл.к/м.В к/м пр-х удаётся найти не один базис и возникает вопр. О числе век-в в различ.базисах сис-ы.Т:Число век-в в различных базисах к/м пр-ва одинаково. Док:Пред-м противное.ПустьA={a1,a2,...,am},B={b1,b2,...,bn},n,m-базисы.А и В-два различ.баз. число век-в в кот. различно.Т.к.А-баз.,то " век-р с.век. В лин.выр-ся ч/з в-ра сист.А. В-лин.незав.сист.как базисÞпо осн.теор. о лин.завис.n<=m(1).Т.к.B базис,то " в-р сист.А лин.выр-ся ч/з век-ра сист.В. А-лин.незав.по осн.теор.Þm<=n(2).Из (1) и (2)Þm=n. Эта теор.позволяет ввести понятие раз-ти пр-ва.О:Размерностью л.п. наз.число век-в в произвольном базисе этого пр-ва. Если разм-ть=n,то пр-во наз.n-мерным.Обознач.dimRn=n, dimRn[x]=n+1.Т:" конеч.лин.незав.с.век-в n-мерн.пр-ва сод-т не более n в-в.Дано:Vn-n-мерн.лин.пр.,В={b1,b2,...,bk}-лин.незав.сист.век.Д-ть:k<=n.Д-во:Т.к. дан.пр-во n-мерн.,то " его базис сод-т n-век-в.Пусть с.век. А={a1,a2,...,an}-базис VnÞВ-лин.незав.и " её век-р лин.выр-ся ч/з АÞпо осн.теор.о лин.завис.k<=n.Cлед:" конечн.с.век-в n-мерн.пр-ва содер-щая более n в-в лин.завис.Т:" лин.незав.с.век.n-мерн.пр-ва содер-т n в-в явл.базисом этого пр-ва(док в тетр).Т:" в-р к/м пр-ва V лин.выр-ся ч/з базис эт.пр-ва един-м образом.



Подпр-ва.V-лин.пр.,LÌV,Lне пустое.Опр:Не пустое подмн-во L лин.пр-ва V наз.подпрост-м эт.пр-ва, если оно само явл.пр-вом отн-но операций опред-х в пр-ве V.Т(признак подпр.)Не пустое подмн.L т.и т.т.явл.его подпр.когда вып-ся условия: 1)"{a,b}ÎL,a+bÌL;2)"aÎL,"lÎP,laÎL.Док:Необ-ть.Дано:LÑV.Док-ть:выполнимость условия 1) и 2).Т.к. LÑV.1) ÞI1,2) ÞII1.Дост-сть:Дано:L-не пустое,1) и 2) выполнимы.Док-ть: LÌV.Д-во:Требуется проверить 10 аксиом л.п.I1-выпол.след. из 1);I2 и I3 справедлиды, т.к. “+”коммут и ассоц на "его подмн.I4.Пусть аÎL-произв.эл-т.Рассм.0*а=OÎL по2).I5.aÎL,-1ÎP:-1*a=-aÎL по требов-ию2).II1..Справ-ть след из 2).II2-II5 выполн на L как на подмн.V. Þпо опред L-полдпрV.Пр-ры:1.{0}ÑV.2.L=V.3.Rn-арифметич. n-мернон пр-во.Рассм. пр-во решений некот однородной сист.лин.ур. с n-неизвест.Это мн-во решений б. Подопр.вект.пр-ва.4.Рассм. пр-во квадр.матриц.и выделяется мн-во диагон. матриц.5.ПР-во многочлен. произв. степени и подмн многочл степени <n явл его подпр.

Линейные многообразия(л.м.).Рассм V,его подпр L и вектор x0ÎV-произ.вектор.Опр:Совокупность век-в М пр-ва V полученное в рез-те сложения каждого в-ра подпр L c фиксиров.в-ром x0ÎVназ линейным многообразием пр-ва.М={x=x0+li/liÎL}.Л.м. полученно парал.сдвигом подпр L." подпр явл л.м., но не каждое л.м. явл подпр.Т1:В-р сдвига Î л.м." два л.м. полученные сдвигом одного и того же подпр, либо совп-т либо их пересечение пусто. Объедин-е всех л.м. получ-е сдвигом одного и того же пр-ва даёт всё пр-во V.Док-во:1)х00+0,0ÎLÞx0ÎM. 2)Покажем, что если пересечение 2-х многообразий непусто, то они совпадают.M1=x1+l, M2= x1+l, M1ÇM2¹Æ.,a=M1ÇM2Þa= x1+l= x1+l.Пусть bÎM1 покажем,что bÎM2. bÎM1Þb=x1+l3=(a-l1)+l3=((x2+l2)-l1)+l3=x2+l4Þ Анал-но док-ся,если cÎM2 то cÎM1ÞM2ÎM1ÞM1=M2. 3)ÈiMi=V, "aÎÈMi,aÎV,т.е. "bÎVÞbÎÈMi,т.е. bÎb+L.Пр-р:Рассм.произв.сист.лин.ур-й с n-неизв-ми. a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1,…,am1x1+am2x2+…+amnxn=bm(1);Приведённая система: a11x1+a12x2+…+a1nxn=0,…,am1x1+am2x2+…+amnxn=0(2).Мн-во решений сист.(2) образует подмн-во n-мерного арифм.пр-ва Rn.Т:Мн-во решений произв.системы лин.ур-й явл. л.м. Rnполученным сдвигом пр-ва решений привед.сист.ур.(2) на вектор (a1,a2,...,an) явл-ся решением системы(1).Док-во:Следует из теор док-ой на 1-м курсе о связи решений:общее решение сист(1) м. Представить в виде суммы общего решения сист(2) и частного реш сист(1). Любое многообр-е ариф.пр=ва совп-т с мн-вом всех решений подлходящей сист ур-й.



Изоморфизм линейного пр-ва.Опр:Два л.п. V и V’ наз изоморф-ми, если сущ-т взаимн-ное отображение j век-в пр-ва V и V’ удовл-х требованию:1)"a,bÎV (a+b)j=aj+bj;2)"aÎV,"lÎP (la)j= l(aj).Св-ва изом.пр-в:1.Рефлексивность.V@V.j:aj=a,1)(a+b)j=a+b=aj+bj.2)(la)j=l(aj); 2.Симметр-ть.V@V’.$j для котор.выполн 1 и 2 .Постр изобр-е j: (аj)y=а (bj)y=b:1)(aj+bj)y=((a+b)j)y=a+b=(aj)y+(bj)y, 2)(laj)y=((la)j)y=la=l(aj)y; 3.Транз-тьV@V’ и V@V”ÞV’@V”.4.При изом-ме 2-х л.п. нулевой век-р отобр-ся в нулевой.j*O=O.5.При изом-ме 2-х л.п. лин.комбинация век-в пр-ва V отобр-ся в линейн.комбин-ю обрпзов-х с теми же коэф-ми.V@V’Þ(l1a1+l2a2+...+lnan)j= Þl1(a1j)+l2(a2j)+...+ln(anj)(Док-ся методом мат.индукции).6.При из-ме 2-х л.п. базис пр-ва V®в базис пр-ва V’.Cлед-е:изом-е л.п. имеют один-ю размерность.7." л.п. разм-ти n с коэф-ми из R изом-но арифмет.n-мерному вект.пр-ву.8.2 л.п.V и V’ c коэф-ми из поля дейст.чисел одинаковой размерности n изом-ы между собой.






Date: 2016-02-19; view: 167; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2019 year. (0.007 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию