Главная Случайная страница



Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника







Обратная матрица, её определение, вычисление, основные свойства





 

Определение 2.3. Матрица называется обратной к квадратной матрице , если , где – единичная матрица.

 

Теорема 2.3. (без доказательства).

Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы , т.е. чтобы матрица была невырожденной (неособенной).

Прежде чем записать формулу для вычисления обратной матрицы, введём следующее понятие.

Матрицу

,

 

составленную из алгебраических дополнений к элементам матрицы , называют присоединённой к матрице .

Формула для вычисления матрицы, обратной для невырожденной матрицы , имеет вид:

 

(2.1).

 

 

Системы линейных уравнений. Матричная запись. Теорема Кронекера-Капелли (формулировкa)

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными :

 

 

(2.2)

 

 

Введём обозначения матриц:

 

– матрица коэффициентов системы;

 

 

– матрица неизвестных;

 

– матрица правых частей (или свободных членов);

 

– расширенная матрица системы.

Тогда на основании правила умножения матриц заменим систему (2.2) матричным уравнением с неизвестной матрицей :

 

. (2.3)

В частности, если , матрица является квадратной. В этом случае имеем систему уравнений с числом неизвестных.

Систему уравнений (2.2) будем называть совместной, если можно найти такие значения неизвестных , которые удовлетворяют всем уравнениям системы (т.е. при подстановке обращают все уравнения в верные равенства). Совокупность этих значений будем называть решением системы.

Заметим, что таких значений может не быть, тогда система называется несовместной.

Теорема 2.4.(Кронекера - Капелли)

Для того чтобы система линейных уравнений (2.2) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг её матрицы равнялся рангу расширенной матрицы . Если ранг матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен числу неизвестных n, то система имеет единственное решение. Если ранг матрицы равен рангу расширенной матрицы , но меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.



Замечание 1. Ранг матрицы больше числа неизвестных быть не может.

Замечание 2.Если, то система (2.2) называется однородной.

Однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы коэффициентов меньше числа неизвестных. Из теоремы 2.4 следует, что такая система всегда совместна, так как она всегда имеет решение , которое называется тривиальным или нулевым.

В частности, если однородная система n линейных уравнений с n неизвестными, то она обладает ненулевым решением, если её матрица коэффициентов вырожденная.

 








Date: 2015-04-23; view: 289; Нарушение авторских прав



mydocx.ru - 2015-2021 year. (0.017 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию