Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Базис і ранг скінченної системи векторів векторного простору





Нехай а12,…,аm (3) –довільна система векторів простору Vn і аi1i2,…,аin (4) –деяка лінійно незалежна підсистема цієї системи.

Означення. Лінійно незалежна підсистема (4) системи векторів (3) називається базисом системи (3), якщо кожний вектор системи (3) є лінійною комбінацією векторів цієї підсистеми.

Теорема 6. Два різних базиса однієї і тієї ж системи векторів містять однакову кількість векторів.

Наприклад за базис V3 можна взяти систему е1=(1,0,0), е2=(0,1,0), е3=(0,0,1) або а1=(1,2,-2), а2=(0,-1,3), а3=(0,-2,4).

Але система b1=(1,-2,-3), b2=(1/2,-1,-3/2), b3=(4,5,6) не є базисом так, як вона містить пропорційні рядки, тобто є лінійно залежною.

Означення. Кількість векторів, які входять в будь-який базис даної системи векторів, називається рангом цієї системи.

Ранг системи векторів – це максимальне число лінійно незалежних векторів системи.

Приклад.

1) Знайти один з базисів системи векторів і виразити всі її вектори, що не входять до знайденого базису, через цей базис :

а1 = (4,1,2), а2 = (1,0,3), а3 = (2,3,-5), а4 = (1,1,6).

Складемо матрицю, рядками якої є дані вектори і зведемо її до діагонального виду

При елементарних перетвореннях координати вектора а перетворилися в 0, тому базисом даної системи векторів є вектори а234.

Виразимо вектор а1 через базис: а1=k1a2+k2a3+k3a4, де ki невідомі коефіцієнти. Складемо матрицю даного рівняння:

Одержимо систему

Отже, а1=21/4a2+13/20a3-19/20a4.

Іншим базисом даної системи векторів є вектори а123.

Означення.Системою твірних називається система векторів а12,…,аn множини векторів лінійного простору, якщо будь-який вектор з цієї множини можна лінійно виразити через скінченне число векторів а12,…,аn:

a12,…,аn – система твірних º "аii=k1a1+k2a2+…+knan).

Ознака лінійної залежності системи векторів - cистема векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли знайдеться вектор в цій системі, який є лінійною комбінацією інших векторів цієї системи:

a12,…,аn – лінійно залежна ó $ai (ai=k1a1+k2a2+…+knan).



Означення.Лінійно незалежна система твірних називається базисом векторного простору.

Ознака базису: базис – максимально лінійно незалежна система векторів. Максимальна в тому розумінні, що якщо до неї приєднати ще один вектор, то вона стане лінійно залежною.

Теорема. Кількість векторів в довільному базисі скінченно вимірного простору є інваріантом цього простору (одна і та ж для простору), а розмірність простору дорівнює кількості векторів в базисі цього простору.

Наприклад, система з 5 лінійно незалежних векторів утворює базис, а система з 6 векторів є лінійно залежною і базис на утворює.

 








Date: 2015-04-23; view: 1567; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2021 year. (0.007 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию