Главная Случайная страница



Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника







Лінійна залежність векторів





Означення.Вектор b з простору Vn називається пропорційним вектору a з цього ж простору, якщо існує таке число k таке, що b=ka.

Нульовий вектор q=(0,0,…,0) пропорційний будь-якому вектору а=(а12,…,аn) тому, що q = 0*а.

Нехай а12,…,аm (1) довільна система векторів з простору.

Означення.Вектор b є Vn називається лінійною комбінацією векторів а12,…,аm, якщо існують такі числа k1,k2,…,km, що

b=k1a1+k2a2+…+kmam (2)

Числа k1,k2,…,kn називаються коефіцієнтами цієї лінійної комбінації.

Нульовий вектор q=(0,0,…,0) є лінійною комбінацією векторів будь-якої системи, оскільки q=0*а1+0*а2+…+0*аm.

Означення. Система векторів а12,…,аm простору Vn називається лінійно залежною, якщо існують такі числа k1,k2,…,km не всі рівні нулю і

k1a1 +k2a2+…+kmam=0. (*)

Система векторів називається лінійно незалежною, якщо рівність (*) виконується лише при k1 = k2 = …= km = 0.

Приклади.

1) З’ясувати лінійно залежною чи лінійно незалежною є система векторів

a1=(1,-2,-3), а2=(2,3,4), а3=(3,5,7).

Запишемо рівняння (*) k1a1+k2a2+k3a3=0. Звідси одержимо систему

Розв’яжемо її методом Гауса

=> x1=x2=x3=0.

Отже, система векторів є лінійно незалежною.

2)а1 = (1,2sinA,tgA,2cosA)

a2 = (ctgA,2cosA,1,0)

a3 = (cosA,sin2A,sinA,1+cos2A),

a4 = (tgA,1,0,2sinA).

Аналогічно попереднім міркуванням маємо:

k4 = 0, k2 = tgA/2/(1-2sinAtgA)k3

Отже, існує k2¹0, а рівняння (*) виконується. Отже, система лінійно залежна.

Теорема 1.(ознака лінійної залежності системи)

Система векторів (1) лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли хоча б один з векторів цієї системи є лінійною комбінацією інших її векторів.

Наслідок 1. Будь-яка система векторів, яка містить нульовий вектор, лінійно залежна.

Наслідок 2. Якщо в системі є пропорційні (колінеарні) вектори, то система лінійно залежна.

Теорема 2. Якщо система векторів а12,…,аm лінійно незалежна, а система векторів а12,…,аm,b лінійно залежна, то вектор b є лінійною комбінацією векторів а12,…,аm.

Означення. Множина, яка складається з будь-яких k (k£m) векторів системи (1) називається підсистемою цієї системи.



Теорема 3. Якщо деяка підсистема системи векторів (1) лінійно залежна, то і система (1) лінійно залежна.

Наслідок. Якщо система векторів (1) лінійно незалежна, то і будь-яка її підсистема теж лінійно незалежна.

Теорема 4. Будь-які s векторів арифметичного n-мірного простору складають при s>n лінійно залежну систему.

 

 








Date: 2015-04-23; view: 533; Нарушение авторских прав



mydocx.ru - 2015-2021 year. (0.007 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию