Метод интегрирования по частям

Теорема 2. Пусть функции и непрерывно дифференцируемы, тогда

.

Последнюю формулу часто записывают в сокращенном виде

.

Этот метод применяется в случае, когда подынтегральная функция имеет вид произведения , где - многочлен, а - тригонометрическая, показательная , обратная тригонометрическая, или логарифмическая функция .

В заключение отметим, что класс функций, первообразные которых находятся в виде элементарных функций (говорят интегрируемых в квадратурах) довольно узок. Например, невозможно записать с помощью элементарной функции.

§3. Определенный интеграл как предел интегральных сумм

Криволинейной трапецией называется область на плоскости ограниченная осью , прямыми , где и графиком непрерывной на отрезке функции (см. рис.1).

Разбиением отрезка на n частей называется набор чисел из этого отрезка, где и . В каждом отрезке (элементарном участке) разбиения выберем некоторую точку . Такое разбиение обозначим буквой , а длину элементарного участка - через . Пусть на отрезке определена некоторая функция .

Определение.Интегральной суммой для функции , построенной по разбиению отрезка , называется сумма произведений значений функции в выбранных точках на длины элементарных участков.

Обозначение: . Если в , то приближенно равна площади соответствующей криволинейной трапеции.

Определение.Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральных сумм этой функции по разбиениям отрезка , у которых максимальный стремится к нулю, т.е.

.

Если в , то этот интеграл выражает точную площадь соответствующей криволинейной трапеции.

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке или имеет на нем конечное число точек разрыва первого рода, то эта функция интегрируема на , т.е. существует.