Частные приращения и частные производные

Определение.Частным приращением по x функции в точке соответствующим приращению называется разность

.

Аналогично, частным приращением по в точке функции соответствующим приращению называется разность

.

Определение. Частной производной по x функции в точке называется предел отношения частного приращения по x этой функции в указанной точке к приращению аргумента x, т.е.

.

Такие частные производные обозначаются символами , , , . В последних случаях круглая буква “ ” – “ ” означает слово “частная”.

Аналогично, частная производная по в точке определяется с помощью предела

.

Другие обозначения этой частной производной: , , .

Частные производные функций находятся по известным правилам дифференцирования функции одной переменной, при этом все переменные, кроме той, по которой дифференцируется функция, считаются постоянными. Так при нахождении для функции переменная принимается за постоянную, а при нахождении - постоянная x.

Если функция имеет частные производные, то ее частными дифференциалами называются выражения

и .

Здесь и .

Частные дифференциалы являются дифференциалами функций одной переменной полученными из функции двух переменных при фиксированных или х.