Полное приращение и полный дифференциал

Полным приращением функции в точке , соответствующим приращениям и аргументов, называется разность

.

Определение. Если полное приращение функции в точке можно представить в виде

, (1)

где и – постоянные, а и бесконечно малые при , то выражение

называется полным дифференциалом этой функции в точке .

Полный дифференциал называют также главной частью приращения функции. Функция, имеющая полный дифференциал в некоторой точке, называется дифференцируемой в этой точке.

Теорема 1. Пусть функция и ее частные производные и непрерывны в некоторой окрестности точки . Тогда функция дифференцируема в точке и ее полный дифференциал равен сумме частных дифференциалов:

.

Если в формуле (1) отбросить бесконечно малые и и заменить полное приращение приближенно полным дифференциалом, то получим следующую формулу для приближенного нахождения значений функции с помощью полного дифференциала.

+ + .

Полный дифференциал функции большего числа переменных находится по формуле

+ + … + .