Выпуклость и точки перегиба функции

Пусть функция дифференцируема в интервале (a,b). Эта функция называется выпуклой вниз (вверх) в интервале (a,b), если для любого x ₀Î(a,b) значение функции для " х Î(a,b) не меньше (не больше) соответствующей ординаты касательной к графику функции, проведенной в точке (x₀, f (x₀)) (см. рис. 1).

Теорема. Пусть функция y=f(x) дважды непрерывно дифференцируема в (a,b). Эта функция выпукла вниз (вверх) на этом интервале тогда и только тогда, когда f ''(x)³0 (f ''(x) 0) "xÎ(a,b).

Точка называется точкой перегиба для функции
, если в некоторой окрестности этой точки график функции лежит по разные стороны от касательной к графику, проведенной в точке , т.е. для а для или наоборот. Точку , в которой имеется вертикальная касательная, называют точкой перегиба, если направления выпуклости функции по разные стороны от противоположны (см. рис. 2).

Теорема (необходимое условие существования точки перегиба). Пусть функция y = f(x) дважды непрерывно дифференцируема в U(x₀)\{x₀} и непрерывна в точке х_0. Тогда, если х₀ ¾ точка перегиба, то значение f''(x₀)=0 или не существует.

Такие точки х ₀, в которых функция y = f(x) непрерывна, а или не существует, называются критическими точками второго порядка.

Теорема (достаточное условие существования точки перегиба). Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема в U(x₀)\{x₀} и непрерывна в x₀, где x₀ – критическая точка второго порядка. Тогда, если при x<x₀ и x>x₀, f ''(x) имеет разные знаки, то x₀ – точка перегиба этой функции. Если же при x<x₀ и x>x₀, знаки f ''(x) совпадают, x₀ – не точка перегиба.