Выпуклость и точки перегиба функции
Пусть функция дифференцируема в интервале (a,b). Эта функция называется выпуклой вниз (вверх) в интервале (a,b), если для любого x 0Î(a,b) значение функции для " х Î(a,b) не меньше (не больше) соответствующей ординаты касательной к графику функции, проведенной в точке (x0, f (x0)) (см. рис. 1).
Теорема. Пусть функция y=f(x) дважды непрерывно дифференцируема в (a,b). Эта функция выпукла вниз (вверх) на этом интервале тогда и только тогда, когда f ''(x)³0 (f ''(x) 0) "xÎ(a,b).
Точка называется точкой перегиба для функции , если в некоторой окрестности этой точки график функции лежит по разные стороны от касательной к графику, проведенной в точке , т.е. для а для или наоборот. Точку , в которой имеется вертикальная касательная, называют точкой перегиба, если направления выпуклости функции по разные стороны от противоположны (см. рис. 2).
На рисунках ¾ точка перегиба, ¾ не точка перегиба
Теорема (необходимое условие существования точки перегиба). Пусть функция y = f(x) дважды непрерывно дифференцируема в U(x0)\{x0} и непрерывна в точке х0. Тогда, если х0 ¾ точка перегиба, то значение f''(x0)=0 или не существует.
Такие точки х 0, в которых функция y = f(x) непрерывна, а или не существует, называются критическими точками второго порядка.
Теорема (достаточное условие существования точки перегиба). Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема в U(x0)\{x0} и непрерывна в x0, где x0 – критическая точка второго порядка. Тогда, если при x<x0 и x>x0, f ''(x) имеет разные знаки, то x0 – точка перегиба этой функции. Если же при x<x0 и x>x0, знаки f ''(x) совпадают, x0 – не точка перегиба.
Date: 2015-04-23; view: 597; Нарушение авторских прав Понравилась страница? Лайкни для друзей: |
|
|