Монотонность и экстремумы функции

Функция называется неубывающей (возрастающей) в интервале (а,b), если для любых из этого интервала выполняется неравенство (). Если (), то такая функция называется невозрастающей (убывающей) в (а,b). Такие функции называют монотонными в интервале (а,b).

Теорема. Пусть функция дифференцируема в интервале .

1. Если f(x) монотонно возрастает в , то , .

2. Если , , то монотонно возрастает в .

В интервалах возрастания или убывания функции знак производной не меняется.

Определение. Точка называется точкой минимума (максимума) функции если она определена в некоторой окрестности этой точки и для .

Значение в этом случае называется минимумом (максимумом) функции. Точки минимума и максимума называются экстремальными точками, а соответствующие значения - экстремумами функции.

Точка x₀, в которой функция y=f(x) непрерывна, а её производная равна нулю или не существует, называется критической точкой этой функции.

Теорема (необходимое условие экстремума). Пусть x₀ – экстремальная точка функции y=f (x), тогда x₀ – критическая точка этой функции.

Обратное утверждение к этой теореме не верно.

Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть функция непрерывна в окрестности U(x₀) критической точки x₀ и дифференцируема в U(x₀)\ {x₀}. Тогда

1) если в U(x₀) f '(x)>0 при х<x₀ и f '(x)<0 при x>x₀ , то x₀ - точка максимума;

2) если в U(x₀) f '(x)<0 при х<x₀ и f '(x)>0 при x>x₀ , то x₀ - точка минимума;

3) если в U(x₀) f ' (x)>0 или f ' (x)<0 при x¹ x₀ , то в x₀ экстремума нет.

Теорема. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в некоторой окрестности критической точки х₀ и вторая производная f''(x₀) существует. Тогда, если f''(x₀)>0, то x₀ - точка минимума, а если f''(x₀)<0, то x₀ - точка максимума.

С помощью исследования экстремумов можно находить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: