Главная Случайная страница



Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника







Монотонность и экстремумы функции





Функция называется неубывающей (возрастающей) в интервале (а,b), если для любых из этого интервала выполняется неравенство ( ). Если ( ), то такая функция называется невозрастающей (убывающей) в (а,b). Такие функции называют монотонными в интервале (а,b).

Теорема. Пусть функция дифференцируема в интервале .

1. Если f(x) монотонно возрастает в , то , .

2. Если , , то монотонно возрастает в .

В интервалах возрастания или убывания функции знак производной не меняется.

Определение. Точка называется точкой минимума (максимума) функции если она определена в некоторой окрестности этой точки и для .

Значение в этом случае называется минимумом (максимумом) функции. Точки минимума и максимума называются экстремальными точками, а соответствующие значения - экстремумами функции.

 

Точка x0, в которой функция y=f(x) непрерывна, а её производная равна нулю или не существует, называется критической точкой этой функции.

Теорема (необходимое условие экстремума).Пусть x0 – экстремальная точка функции y=f (x), тогда x0 – критическая точка этой функции.

Обратное утверждение к этой теореме не верно.

Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть функция непрерывна в окрестности U(x0) критической точки x0 и дифференцируема в U(x0)\ {x0}. Тогда

1) если в U(x0) f '(x)>0 при х<x0 и f '(x)<0 при x>x0 , то x0 - точка максимума;

2) если в U(x0) f '(x)<0 при х<x0 и f '(x)>0 при x>x0 , то x0 - точка минимума;

3) если в U(x0) f ' (x)>0 или f ' (x)<0 при x¹ x0 , то в x0 экстремума нет.

Теорема. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в некоторой окрестности критической точки х0 и вторая производная f''(x0) существует. Тогда, если f''(x0)>0, то x0 - точка минимума, а если f''(x0)<0, то x0 - точка максимума.

С помощью исследования экстремумов можно находить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

= max{f(a), f(b), f(xi): xiÎ(a,b) - точки максимума},

= min{f(a), f(b), f(xi): xiÎ(a,b) - точки минимума}.



 








Date: 2015-04-23; view: 571; Нарушение авторских прав



mydocx.ru - 2015-2021 year. (0.017 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию