Приращения и производные

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .

Приращением аргумента х в точке называется разность .

Приращением функции в точке называется разность

.

Геометрически D х и D f означают изменения абсциссы и ординаты точки на графике при перемещении из точки в точку (рис. 1).

Следующее определение непрерывности функции в точке эквивалентно предыдущему.

Определение. Если функция определена в некоторой окрестности точки и , то она называется непрерывной в точке .

Определение. Если существует предел

, (1)

то это число называется производной функции в точке .

Эта производная обозначается также одним из следующих символов:

.

Если функция имеет конечную производную в точке , то она называется дифференцируемой в этой точке (т. е. предел (1) существует).

Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.