Кривые второго порядка на плоскости

1. Эллипс. Пусть на плоскости имеются две точки и , называемые фокусами на расстоянии друг от друга ( – фокусное расстояние). Расположим их на оси симметрично относительно начала координат, т.е. и . Пусть .

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний, от которых до двух выбранных фокусов, постоянна и равна (см. рис. 10).

Уравнение , где называется каноническим уравнением эллипса, а числа а и - его полуосями (большой и малой).

Точки пересечения этого эллипса с осями координат называются вершинами эллипса.

Ось, проходящая через фокусы эллипса (ось ) называется его фокальной осью. Число называется эксцентриситетом. У эллипса .

2. Окружность. В частном случае, когда фокусное расстояние эллипса , два фокуса эллипса совпадают с его центром. При этом и эллипс превращается в окружность радиуса a с каноническим управлением:

.

Уравнение окружности радиуса a с центром в точке имеет вид: .

3. Гипербола. Пусть на плоскости имеются два фокуса (например, и ) и пусть .

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний от которых до двух выбранных фокусов постоянна и равна .

Каноническое уравнение гиперболы:

, где .

Число а называется действительной полуосью этойгиперболы, а число – ее мнимой полуосью.

Определение. Прямая называется асимптотой кривой , если расстояние от точки на кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль кривой в бесконечность.

Прямые являются асимптотами обеих ветвей гиперболы (см. рис. 11).

4. Парабола. Пусть на плоскости имеется прямая (директриса) и точка (фокус) на расстоянии от директрисы. Пусть имеет уравнение , фокус - координаты .

Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до фокуса совпадает с расстоянием до директрисы (см. рис. 12).

Уравнение называется каноническим уравнением параболы, а число - ее параметром. Эта парабола проходит через т. , которая называется ее вершиной.Эксцентриситет параболы всегда считается равным единице. Асимптот у параболы нет.

§10. Основные понятия об n -мерном арифметическом пространстве

1. Определение. n-мерным арифметическим пространством называется множество всех строк (или столбцов), состоящих из n действительных чисел.

Строка называется точкой в , а числа ее координатами в стандартной системе координат. Точка называется началом координат, а множество точек вида - -ой координатной осью (обозначается ). Здесь . Расстоянием от точки до точки в (или, что тоже самое, длиной отрезка ) называется число

.

Вектором в с началом в точке и концом в точке называется строка (или столбец), составленная из разностей координат точек и :

.

Над векторами в определяются операции сложения и умножения на числа по соответствующим правилам, определенным в §2 для матриц.

Единичные векторы, направленные вдоль координатных осей, т. е. векторы , , …, называются стандартным базисом в , числа - координатами вектора в стандартном базисе . При этом очевидно равенство .

2. Скалярным произведением векторов и в называется число .

Модулем вектора называется число

.

Векторы и называются перпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю: .

Теорема (Неравенство Буняковского). Для любых векторов и из справедливо неравенство .

Углом между векторами и в называется такой угол , что

.

3. Гиперплоскостью в называется множество всех его точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

.