Векторы и линейные операции над ними

Определение. Вектором с началом в точке A и с концом в точке B называется отрезок с выбранным направлением, или направленный отрезок - .

Вектор, у которого начало совпадает с его концом, называется нулевым вектором - . Длина отрезка, изображающего вектор называется модулем этого вектора - | |. Векторы параллельные одной прямой называются коллинеарными. Нулевой вектор считается коллинеарным любым векторам. Два вектора и считаются равными, если они равны по модулю, коллинеарны и одинаково направлены.

Определение.Произведением вектора на число a называется такой вектор , что выполняются три условия.

1) |a |=|a|| |, 2)a || ,

3) Вектор a сонаправлен вектору , если a>0 и направлен в противоположную сторону, если a<0.

Определение (правило паралле-лограмма). Суммой векторов и , исходящих из одной точки, называется вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма образованного векторами и , исходящий из той же точки (см. рис. 1).

Суммой векторов , ,..., , у которых начало вектора совпадает с концом , является вектор, соединяющий начало вектора с концом вектора (см. рис. 2).

Эти линейные операции над векторами обладают следующими свойствами.

1. 1× = .

2. 0× = .

3. a(b )=(ab) .

4. (a+b) =a +b .

5. + = + .

6. ( + )+ = +( + ).

7. a( + )=a +a

Разностью векторов и , исходящих из одной точки называется вектор, соединяющий конец вектора с концом вектора (см. рис. 3).

Определение. Линейной комбинацией векторов , ,..., с коэффициентами C₁,C₂,...,C_n называется вектор C₁ +C₂ +...+C_n .

Если векторы , ,..., коллинеарны некоторой прямой, то любая их линейная комбинация будет коллинеарна той же прямой.

Векторы , ,..., параллельные одной плоскости называются компланарными. Если векторы , ,..., компланарны некоторой плоскости, то любая их линейная комбинация компланарна той же плоскости.