Операции над матрицами

Над матрицами можно производить следующие операции: умножение на число, сложение, умножение матриц и нахождение обратной матрицы. Первые две операции называются линейными.

Определение. Произведением матрицы размера на число , называется матрица размера , каждый элемент которой равен .

Определение.Суммой матриц и одинакового размера называется матрица того же размера, каждый элемент которой равен .

Определение. Произведением строки A из элементов на столбец B из элементов называется число

Определение.Произведением матрицы A размера на матрицу B размера называется матрица C размера , каждый элемент которой равен произведению –ой строки матрицы A на –ый столбец матрицы , т. е.

.

Для любой квадратной матрицы A верно равенство AE=EA=A, то есть единичная матрица играет роль единицы при умножении матриц.

Кроме того, для квадратных матриц верно равенство |AB|=|A|×|B|.

Определение. Обратной матрицей для квадратной матрицы A называется такая матрица A^-1, что выполняется равенство A×A^-1=A^-1×A=E.

Квадратная матрица A, определитель которой равен нулю, называется вырожденной, матрица, определитель которой не равен нулю, называется невырожденной. Присоединённой матрицей для квадратной матрицы A называется матрица , элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы A.

Теорема об обратной матрице. Невырожденные матрицы и только они имеют обратные матрицы, которые находятся по формуле

.