Главная Случайная страница



Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника







Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то линии их пересечения параллельны





Доказательство. Пусть аир — параллельные плоскости, у — секущая плоскость, а и Ь — линии пересечения (рис. 16). Докажем, что прямые а и Ъ параллельны.

Предположим, что а и Ъ не парал­лельны. Тогда, так как они лежат в одной плоскости у, то пересекутся в некоторой точке Р. Точка Р принадлежит прямым а и Ъ и, значит, является общей точкой плос­костей аир. Но это противоречит тому, что плоскости а и Р параллельны. Итак,

прямые а и & не пересекаются. Значит, они параллельны. Теорема доказана.

Теорема 10. Отрезки параллель­ных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны.

Рис. 17

Доказательство. Пусть отрез­ки АВ и А1В1 параллельны, а их концы лежат в параллельных плоскостях а и р (рис. 17). Третья плоскость, проходящая через прямые АВ и AXBV пересекает параллельные плоскости аир по параллельным прямым: (AAJ || (BBJ. Кроме того, по условию теоремы (АВ) || (AjSj). Значит, четырехугольник АВВ1А1 — параллелограмм. Следовательно, \АВ\ = ХВ^. Теорема доказана.

Теорема 11. Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

Рис.18

Доказательство. Пусть а — плоскость, А — не лежащая на ней точ­ка. Чтобы через данную точку А про­вести плоскость р, параллельную плос­кости а, сначала в плоскости а прове­дем какие-нибудь две пересекающиеся прямые ах и а2 (рис.18). Потом через данную точку А проведем параллельные им прямые &х и Ь2. Прямые &х и Ъ2 определяют единственную плоскость р (теорема 2). А по следствию теоремы 8 Pilot. Единственность такой плоскости Р не вызывает сомнений.

Следствие. Две плоскости, параллельные третьей плоскости, параллельны.

Следствие легко доказывается с помощью теоремы 11. Если даны три плоскости а, р, у, такие, что а || у, Р || у, то ясно, что Р || а. Действительно, если предположим, что а п р = Ъ (прямая), то через некоторую точку А прямой Ъ проходили бы две плоскости, парал­лельные плоскости у. А это противоречит теореме 11. Поэтому а || р.



Вопросы и задания

1.Какие плоскости называются параллельными?

2. Докажите теорему о признаке параллельности двух плоскостей.

3. Докажите, что если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то
прямые пересечения параллельны.

4. Докажите, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя
параллельными плоскостями, равны.

5. Докажите, что через точку вне данной плоскости можно провести плоскость,
параллельную данной, и притом только одну.

6. Повторите и запомните следствия теорем.

7. В окружающей вас обстановке найдите примеры параллельных плоскостей,
плоскости и параллельной ей прямой.

Задачи

Рис. 19

49.Две прямые плоскости а параллельны плоскости р. Следует ли
отсюда, что а || р?

50.а || р. Докажите, что каждая прямая плоскости а параллельна
плоскости р.

51.Отрезки О А, ОВ и ОС не лежат в одной плоскости. Докажите,
что плоскость, проходящая через их середины, параллельна плос­
кости ABC.

52.Могут ли быть равными отрез­
ки не параллельных прямых,
заключенные между двумя
параллельными прямыми?

53.Через вершины треугольни­
ка ABC, лежащего в одной из
двух параллельных плоскос­
тей, проведены параллельные
прямые, пересекающие вторую
плоскость в точках AVBVCV
Докажите равенство треуголь­
ников ABC и А1В1С1 (рис.19).

В

54. Две параллельные плоскости аир пересекают сторону АВ тре­
угольника ABC в точках D и Dx, а сторону ВС соответственно в
точках Е и Ех Найдите длину отрезка DE, если \BD\ = 12 см,
\BDX\ = 18 см, l-Dj-EJ = 54 см.

55. Плоскость у пересекает плоскости а и р по параллельным пря­
мым. Следует ли из этого, что плоскости аир параллельны?

56. Плоскости аир пересекаются. Докажите, что любая плоскость
пространства пересекает хотя бы одну из плоскостей а, р.

Через вершины параллелограмма ABCD, лежащего в одной из
двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые,
пересекающие вторую плоскость в точках A1,B1,C1,D1. Докажите,
что четырехугольник A1,B1,C1,D1 тоже параллелограмм.

 

58. Прямая а параллельна плоскости а.
Как через прямую а провести плос­
кость, параллельную а?

59. Три прямые, проходящие через
одну точку, пересекают данную
плоскость в точках А, В, С, а парал­
лельную ей плоскость в точках Av Bv
Cv
Докажите подобие треугольников
ABC и A^q (рис. 20).

60. ABCDEFA — не плоская

Рис. 20

замкнутая ломаная из шести звеньев.

Докажите, что если [АВ] || [DE], [ВС] \\ [EF] и [CD] || [FA], то \АВ\ = \DE\, \ВС\ = \EF\ и |СД = \FA\. 61. Докажите, что если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то пересекает и другую.








Date: 2015-04-23; view: 2302; Нарушение авторских прав



mydocx.ru - 2015-2021 year. (0.009 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию