Параллельные и скрещивающиеся прямые

В пространстве две прямые могут лежать в одной плоскости, а могут и не лежать (в одной плоскости). Например, рассмотрим куб ABCD A₁B₁C_iD₁

Его ребра — отрезки, которые могут быть

продолжены в виде прямых отрезков. Видно, \с £>

что среди этих прямых имеются также не
пересекающиеся и не лежащие в одной
плоскости пары прямых. Например, АВ и А^

или ВС и AjBj.

Определение. Двепрямые, которыенележатводнойплоскости, называются скрещивающимися (рис. 10,а)

В рассматриваемом примере пары АВ, A_iD₁ и ВС, А₁В₁ являются примерами скрещивающихся прямых.

Две прямые в плоскости параллельны или пересекаются — третьей возможности для них нет. Например, в рассмотренном кубе стороны АВ и ВС, лежащие в одной плоскости, пересекаются в точке В, а стороны АВ и DC не пересекаются.

Опр е де ление. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются (рис. 10, б).

В приведенном выше примере АВ и DC параллельны. Параллель­ность прямых обозначается в пространстве так же, как на плоскости ((AB)||(DC)). Отрезки (лучи), принадлежащие параллельным прямым, называются параллельными.

Из определения следует, что через две параллельные прямые всегда можно провести плоскость, причем только одну. Ведь если допустить, что через параллельные прямые а и Ъ проведены две различные плоскости, из этого следовало бы, что через прямую и некоторую точку прямой проведены две различные плоскости. Но этого не может быть (теорема 1). Итак, к перечисленным способам задания плоскости

Плоскость можно однозначно задать двумя через данную точку можно провести не параллельной данной (аксиома параллельных КО таких прямых можно провести в пространстве Через точку вне данной прямой можно провести Щ(ШЩ/т, параллельную этой прямой, и притом только одну.

Доказательство. Обоз­начим данную прямую через а, данную точку через В. Через прямую и точку В можно про­вести единственную плоскость (теорема 1). Обозначим ее через а (рис. 11). Проведем через точку В в плоскости а прямую Ь, параллельную а. Докажем, что прямая Ъ, параллельная о, единственна.

Допустим, что существует другая прямая b_v проходящая через точку В и параллельная прямой а. Через прямые а и & можно провес­ти плоскость р.

Плоскость В проходит через прямую а и точку В. Следовательно, по теореме 1 она совпадает с а. Теперь по аксиоме параллельные прямые Ъ и Ъ_х совпадают. Теорема доказана.