Признак параллельности прямой и плоскости

Известны три случая расположения прямой и плоскости в пространстве:

1) прямая лежит на плоскости;

2) прямая пересекает плоскость, т.е. прямая и плоскость имеют
одну общую точку;

3) прямая и плоскость не имеют общих точек.
Определение. Прямая и плоскость называются параллельны­
ми, если они не имеют общих точек.

Теорема 6 (признакпараллельностипрямойиплоскости). ^^

Мая, не принадлежащая плоскости, параллельнакакой-либо прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Доказательство. Пусть а — плоскость, Ъ — не лежащая в ней прямая и а — прямая в плоскости а, параллельная прямой b (рис. 14, а). Проведем плоскость р через прямые b и а (рис. 14, б). Плоскости аир пересекаются по прямой а. Если бы прямая b пере­секал

Но это невозможно, так как прямые b и а параллельны. Итак, пря­мая b не пересекает плоскость а, а значит, параллельна плоскости ос. Теорема доказана.

Теорема 7. Если плоскость ф), проходящая через прямую (Ь), параллельную плоскости (а), пересекает данную плоскость (а), то линия пересечения будет параллельна данной прямой ф).

Вопросы и задания

1. Как могут быть расположены прямая и плоскость в пространстве?

2. В каких случаях прямая и плоскость будут параллельны?

3. Повторите и запомните признак параллельности прямой и плоскости.
Докажите теорему.

4. Докажите теорему о плоскости, проходящей через прямую, параллельную
данной плоскости и пересекающую эту плоскость.

Задачи

А

36.Каждая из прямых о и Ъ параллельна плоскости а. Следует ли
отсюда параллельность прямых а и Ь?

37.Прямая о параллельна прямой. Следует ли отсюда, что а || а?

38) Каждая из плоскостей параллельна прямой а. Пересекутся плоскости?

В

39) Докажите, что если плоскость пересекает трапецию по ее средней линии, то она параллельна основаниям трапеции.

40. Точки Аи В лежат в плоскости а, а точка О — вне плоскости.
Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков ОА
и ОВ, параллельна плоскости а.

41. Сколько прямых, параллельных данной плоскости, можно
провести через данную точку?

С

42. Плоскость а пересекает отрезки АВ и АС посередине — в точ­
ках К и Р. Докажите, что отрезок ВС параллелен плоскости а.
Как относятся площади треугольников ABC и АКР?

43. Сколько плоскостей, параллельных данной прямой, можно про­
вести через данную точку?

44. Через данную точку пространства проведите прямую, пересе­
кающую каждую из двух скрещивающихся прямых. Всегда ли
это возможно?

45. Если через каждую из двух параллельных прямых проведены
плоскости, причем эти плоскости пересекаются, то линия их
пересечения параллельна каждой из данных прямых. Докажите.

46. Плоскости аир пересекаются, ABCD — параллелограмм,
расположенный в плоскости a. ABEF — равнобедренная трапеция,
расположенная в плоскости р, АВ и FE — основания трапеции.
Градусная мера угла AFE=60°. \AF\ = 8 см, \АВ\ = 5 см, плоскости а
и Р пересекаются по прямой АВ. Определите, как расположены:
1) прямые CD и EF; 2) прямые CD и AF; 3) найдите периметр
трапеции.

47. Даны четыре точки A,B,C,D, не лежащие в одной плоскости.
Докажите, что прямые, соединяющие середины отрезков АВ и CD,
АС и BD, AD и ВС, пересекаются в одной точке.

Даны четыре точки А,В,С и D, не лежащие в одной плоскости.
Докажите, что любая плоскость, параллельная прямым АВ и CD,
пересекает прямые AC, AD, BD и ВС в вершинах параллелограмма.