Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






ПРОСТЕЙШИЕ СЛЕДСТВИЯ АКСИОМ





Можно рассмотреть следствия, прямо вытекающие из аксиом. Их мы сформулируем в виде теорем.

Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Доказательство. Пусть даны прямая а и не лежащая на ней точка D (рис. 4). Отметим на прямой а любые две точки: А и Б. Через точки А, В, D проведем плоскость и обозначим ее через а. По аксиоме С2 такую плоскость провести можно.

Докажем теперь, что плоскость а, проходящая через прямую а и точку D, единственна. Допустим, что существует другая, отличная от а, плоскость р, проходящая через прямую а и точку D. В этом случае по аксиоме С4 плоскости аир, будучи различными, пересекутся по прямой, и точки А, В, D должны будут лежать на этой прямой. Но по условию эти точки не лежат на одной прямой. Таким образом мы пришли к противоречию. Полученное противоречие и доказывает единственность плоскости. Теорема доказана.

Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

Доказательство. Пусть даны прямые ои 6, пересекающиеся в точке С (рис. 5). Обозначим любую точку на прямой а буквой А, на прямой b буквой В, отличные от С. По аксиоме С2 через точки А, В, С можно провести плоскость, и притом только одну. Теорема доказана.

Из аксиомы С2 и доказанных теорем следует, что плоскость можно задать: 1) тремя точками, не лежащими на одной прямой; 2) прямой и не лежащей на ней точкой; 3) двумя пересекающимися прямыми. Задание плоскости двумя параллельными прямыми рассмотрим в §4.

Вопросы и задания

1.Вспомните и повторите аксиомы планиметрии.

2. Даны две пересекающиеся прямые. Докажите, что эти прямые и пересекающая
их в различных точках третья прямая лежат в одной плоскости.

3. Докажите, что через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плос­
кость, и притом только одну.

4. Докажите, что через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и
притом только одну.

Задачи

1.Можно ли через точку пересечения двух данных прямых провести



третью прямую, не лежащую с ними в одной плоскости? Объясните ответ.

2. Точки М, N, К лежат в каждой из двух различных плоскостей.

Докажите, что эти точки лежат на одной прямой.

3. Всегда ли прямая, которая пересекает две стороны треугольника

(не проходящая через его вершины), лежит в плоскости треуголь­ника? Объясните ответ.

4. Всегда ли прямая, проходящая через вершину треугольника, лежит

в плоскости треугольника? Объясните ответ.

5. Четыре точки не лежат в одной плоскости. Могут ли какие-нибудь

три из них лежать на одной прямой? Объясните ответ.

в

6. Докажите, что через одну прямую можно провести две различные

плоскости.

7. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Через каждые две

из них проведены прямые. Докажите, что эти прямые лежат в одной плоскости.

8. Даны прямая а и точка А. Аеа. Докажите, что все прямые,

пересекающие прямую и проходящие через точку А, лежат в одной плоскости.

9. Даны две плоскости, пересекающиеся по прямой а. Прямая Ъ лежит

в одной из них и пересекается с другой. Докажите, что прямые а и Ъ пересекаются.

10. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Пересекаются ли
прямые АС и BD?

11. Даны две не пересекающиеся плоскости. Докажите, что прямая,
пересекающая одну из этих плоскостей, пересекает и другую.

12. Докажите, что если прямые АВ и CD не лежат в одной плоскости,
то прямые АС и BD также не лежат в одной плоскости.

13. Четыре точки не лежат в одной плоскости. Сколько плоскостей
можно провести через три из них? Объясните ответ.








Date: 2015-04-23; view: 1735; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2021 year. (0.006 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию