Признак параллельности прямых

Теорема 5. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

Доказательство. Пусть Ъ\\ а, с\\ а Докажем, что прямые бис параллельны. Соответственно определению надо дока­зать, что: 1) Ъ и с лежат в одной плоскости; 2) прямые & и с не пересекаются.

Предположим, что наши прямые не лежат в одной плоскости. Пусть а — плоскость, в которой лежат прямые а и Ъ, а В — плоскость, в которой лежат прямые а и с. Плоскости ос и В различны Отметим на прямой Ъ какую-нибудь точку В и проведем плоскость Р_; через прямую с и точку В. Она пересечет плоскость а по прямой Ъ_х

Прямая Ь_г не пересекает плоскость В. Если предположим, что пере­секает, то точка пересечения должна принадлежать прямой а, так как прямые Ъ_г и а лежат в плоскости а. С другой стороны, она должна лежать и на прямой с, так как она будет общей точкой плоскостей р,, р (потому что по построению с — общая прямая плоскостей P_t, P). Но это невозможно, так как прямые а и с параллельны. Значит, прямая Ъ_х не пересекает плоскость р.

Так как прямая Ъ_х лежит в плоскости а и не пересекает прямую

а, то она параллельна а, а значит, совпадает с Ъ по аксиоме парал­
лельных прямых. Таким образом, прямая Ъ, совпадая с прямой Ь_х,
лежит в одной плоскости с прямой с (в плоскости Pj) и не пересекает
ее. Значит, прямые & и с параллельны. Теорема доказана.

Вопросы и задания

1. Какие прямые называются скрещивающимися?

2. Какие прямые в пространстве называются параллельными?

3. Что можно сказать об отрезках, принадлежащих параллельным прямым?

4. Дан куб ABCDAj.BjCj.Dj:

а) Укажите и обозначьте параллельные ребра куба. Сколько в кубе ребер,
параллельных одному ребру?

б) Укажите ребра, которые лежат на скрещивающихся прямых. Сколько ребер
скрещиваются с одним ребром? Обозначьте.

5. Докажите, что через точку вне данной прямой можно провести прямую, парал­
лельную этой прямой, и притом только одну.

б. Объясните теорему о трех параллельных прямых в пространстве.

Задачи

21.Прямые а и & параллельны, a b и с не параллельны. Докажите,
что прямые а и с не параллельны.

22.Отрезки ОА и ОВ пересекают плоскость а в точках А_х и В_г,
являющихся серединами этих отрезков. Найдите расстояние АВ,
если lAjBjhe.e см.

23.Прямые DDj и СС_Х, изображенные на
рисунке 13, пересекают прямую A_XD
в точках D и С, а плоскость а — в
точках Dj и С_г. Параллельны ли
прямые DD^ и СС^ Если да, то почему?

24.Прямые АВ и CD параллельны. Могут
ли быть скрещивающимися прямые
АС и BD? А пересекающимися?

25.Прямые MN и EF скрещиваются. Мо­
гут ли быть параллельными прямые
ME и NF? А пересекающимися?

26.Прямые Ь и d скрещиваются. Что можно сказать о прямых а и с,
если a\\bnc\\d?

27.Прямые b и искрещиваются. Как будут расположены прямые b
и с, если для с выполняется условие: с\\ а"1

28.Даны две не совпадающие параллельные прямые. Докажите, что
все прямые, пересекающие данные две прямые, лежат в одной
плоскости.

29.Прямые АВ и CD пересекаются. Докажите, что прямые АС и CD
не скрещиваются.

30.Вершины треугольника ABC — середины отрезков OA_V OB_V OC_V
Точка О принадлежит плоскости треугольника ABC. Во сколько
раз периметр треугольника А₁В₁С₁ больше периметра
треугольника ABC?

31. ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб. Докажите, что плоскость треугольника
АСС₁ проходит через точку A_v

32.Из точек Am В плоскости а проведены вне нее параллельные
отрезки: \АЩ = 16 см и \ВМ\ =12 см. Прямая МК пересекает
плоскость а в точке С. Найдите расстояние АС, если [АВ\ =9 см.
Рассмотрите оба случая.

33.Точка С делит отрезок АВ в отношении \АС\: \ВС\ = 2:3. Парал­
лельные прямые, проходящие через точки А, В, С, пересекают
некоторую плоскость в точках А,В,С. Найдите отношение

34.Докажите, что середины сторон пространственного четырех­
угольника являются вершинами параллелограмма (вершины
пространственного четырехугольника не лежат в одной
плоскости).

35.Докажите, что если прямые АВ и CD — скрещивающиеся, то
прямые АС л BD тоже скрещиваются.