Полупространства

Вспомним, что каждая прямая в плоскости делит ее на две полуплоскости, для которых она служит общей границей. Полу­плоскость, ограниченная прямой о, характеризуется следующими свойствами:

1. Она содержит прямую о;

Если обе точки Аи В принадлежат полуплоскости, но не прямой

1. а, то отрезок АВ не имеет общих точек с прямой а (рис. 6,о);

3. Если же точка А принадлежит полуплоскости, а В ей не
принадлежит, то отрезок АВ имеет с прямой а общую точку (рис. 6,6).

Аналогично в пространстве можно рассмотреть полупространства, ограниченные плоскостью.

Теорема 3. Плоскость разбивает пространство на два полу­пространства. Если точки А и В принадлежат одному полу­пространству, то отрезок АВ не пересекает плоскость. Если точки Аи В принадлежат разным полупространствам, то отрезок АВ пересекает плоскость.

Доказательство. Пусть а — данная плоскость. Отметим точку С, не лежащую в плоскости (такая точка существует по акси­оме Cj). Разобьем все точки пространства следующим образом. Точку А отнесем к первому полупространству, если отрезок АС не пересекает плоскость а, и ко второму полупространству, если отрезок АС пересекает плоскость а. Покажем, что это разбиение пространства обладает свойствами, указанными в теореме.

Пусть точки А и В принадлежат первому полупространству. Проведем через точки С, Aw. В плоскость р. Если плоскость Р не пересекает плоскость а, то отрезок АВ тоже не пересекает эту плос­кость. Допустим, что плоскость Р пересекает плоскость а (рис. 7, о). Так как плоскости различны, то их пересечение происходит по некоторой прямой а. Прямая а разбивает плоскость Р на две полуплоскости. Точки А и В принадлежат одной полуплоскости, именно той, в которой лежит точка С. Поэтому отрезок АВ не пересекает прямую а, а значит, и плоскость а.

Если точки Аи В принадлежат второму полупространству, то плоскость р заведомо пересекает плоскость а, так как отрезок АС пересекает плоскость а. Точки A vs. В принадлежат одной полуплоскости разбиения плоскости Р прямой а. Следовательно, отрезок АВ не пересекает прямую а, а значит, и плоскость а.

Если, наконец, точка А принадлежит одному полупространству, а точка В — другому, то плоскость Р пересекает плоскость а, а точки А и В лежат в разных полуплоскостях плоскости р относительно прямой а (рис. 7, б). Поэтому отрезок АВ пересекает прямую а, а значит, и плоскость а. Теорема доказана.

Вопросы и задания

1. Сформулируйте основное свойство расположения точек относительно прямой в
плоскости.

2. Сформулируйте основное свойство расположения точек относительно плоскости
в пространстве.

3. Точки А и В относительно плоскости а принадлежат одному полупространству.
Отрезки АЙГ, ВК не пересекают плоскость а. К какому полупространству
принадлежит точка 1С?

4.Какой фигурой может быть пересечение:

1) полупространства и прямой;

2) полупространства и луча;

3) полупространства и плоскости;

4) полупространства и полуплоскости;

5) полупространства и отрезка;

Задачи

1.Точка А принадлежит плоскости a, a
точка В не принадлежит. Принадлежит ли
плоскости а середина отрезка АВ?

2.Отрезки АВ и АС пересекают плоскость а. Пересечет ли ее отрезок
ВС? А прямая ВС?

3.В плоскости а даны две пересекающиеся прямые а и Ъ. Mia.
Постройте линию пересечения плоскостей, проходящих через а и
М, через ЬиМ.

4.Дано: ccnp =m, Ае a, Be т, АфВ. Правильно ли: 1) (АВ) с а;

2) (АВ) <2 Р

Date: 2015-04-23; view: 3542; Нарушение авторских прав