Системы уравнений в базисной форме

Рассмотрим произвольную систему

(16.1)

когда .

Для нахождения общего метода исследования и решения такой системы введем в рассмотрение ее частный случай. Система вида

(16.2)

называется системой в базисной форме.

Неизвестные называются свободными, а - несвободными или базисными неизвестными. Выбор базисных и свободных переменных может быть различным в общем случае.

Система (16.1) имеет решение в том и только том случае, когда ее можно записать в базисной форме.

Перенесем все свободные неизвестные в правые части уравнений системы (16.2). Тогда получим

(16.3)

Если свободным неизвестным придать конкретные числовые значения, то по формулам (16.3) можно вычислить базисные неизвестные. Таким образом, базисная система (16.2) всегда имеет решение. Причем возможны следующие варианты.

1). m = n, то есть число уравнений равно числу неизвестных. В этом случае все переменные базисные. Система имеет вид

и является определенной, так как имеет единственное, очевидное решение. Матрицей такой системы является единичная матрица

.

2). m<n. Тогда система с расширенной матрицей вида

(16.4)

имеет бесконечно много решений, так как при каждом числовом наборе свободных неизвестных базисные неизвестные получают определенные значения по формулам (16.3).

Совокупность n значений неизвестных , связанных соотношениями (16.3), где неизвестные могут принимать любые числовые значения, называется общим решением системы (16.2) или решением в базисной форме. Частным решением называется всякое решение, полученное из общего при конкретных числовых значениях свободных неизвестных.

Вывод: система с базисом всегда совместна. При этом она определенная, если все ее неизвестные базисные, и неопределенная, если кроме базисных есть хотя бы одна свободная неизвестная.

17. Метод Гаусса.

Рассмотрим теперь общий метод исследования и решения систем вида (16.1), который называется методом Гаусса. Он заключается в том, чтобы преобразовать эту систему к равносильной системе с базисом, для которой вопрос о решениях рассмотрен в предыдущем разделе 16.

Метод Гаусса сводится к последовательному исключению неизвестных и основан на применении элементарных преобразований, которые приводят к равносильной системе. К элементарным преобразованиям относятся:

1) обмен местами уравнений в системе;

2) умножение уравнения на постоянное число, отличное от нуля;

3) прибавление к уравнению другого уравнения, умноженного предварительно на произвольное число;

4) отбрасывание или добавление уравнения вида (такое уравнение назовем лишним уравнением).

Уравнение вида , где , назовем противоречивым уравнением. Если в результате элементарных преобразований получилось противоречивое уравнение, то система несовместна.

Для простоты записи вместо всей системы уравнений будем записывать только расширенную матрицу коэффициентов, отделяя вертикальной чертой столбец правых частей

. (17.1)

Элементарные преобразования для равносильных систем порождают допустимые преобразования для матриц. Таким образом, в матрице можно:

1) менять местами строки;

2) умножать любую строку на число, отличное от нуля;

3) прибавлять к строке любую другую строку, умноженную на любое число;

4) отбрасывать нулевую строку , то есть строку коэффициентов лишнего уравнения.

Универсальный метод Гаусса имеет несколько вычислительных схем. Рассмотрим здесь схему единственного деления. Ее идея заключается в том, чтобы с помощью элементарных преобразований привести матрицу (17.1) к виду

(17.2)

или получить противоречивую строку , где , то есть убедиться в том, что система несовместна. Если противоречий не получено, то система совместная и можно искать ее решения. Таким образом, метод состоит из двух этапов.

I-ый этап – так называемый «прямой ход». Его цель – преобразовать матрицу к такому виду, когда на главной диагонали стоят 1, а под главной диагональю – 0. Для этого последовательно выполняем следующие шаги.

1-ый шаг. Назовем элемент в левом верхнем углу матрицы ведущим, а строку, содержащую ведущий элемент, ведущей строкой. Преобразуем матрицу так, чтобы ведущий элемент равнялся 1. Если в левом столбце есть 1, то меняем местами строки. Если нет, то меняем строки так, чтобы ведущий элемент был отличен от нуля, и делим ведущую строку на ведущий элемент. Получаем матрицу

2-ой шаг – размножение нулей в левом столбце под ведущим элементом, равным 1. Для этого к каждой i–той строке прибавляем ведущую строку, предварительно умноженную на первый элемент i–той строки, взятый с противоположным знаком. Например, умножаем первую строку на () и складываем со второй строкой.

Если в ходе этих преобразований получили нулевую строку, то ее следует отбросить. Если получена противоречивая строка, то система решений не имеет. Если противоречий нет, то в результате получим матрицу, в которой, возможно, будет меньше строк, чем в исходной. Она имеет вид:

3-ий шаг – мысленно отделим строку и столбец, содержащие ведущий элемент. В них «прямой ход» завершен. В оставшейся внутри пунктирных линий матрице снова выделим ведущий элемент и повторим всю процедуру, начиная с 1-го шага.

Если новый ведущий элемент и все элементы под ним – нули, то можно поменять местами столбцы всей матрицы так, чтобы новый ведущий элемент был равен 1 или, по крайней мере, был отличен от нуля. Это всегда можно сделать (иначе ведущая строка либо лишняя, либо противоречивая). Однако это приводит к замене переменных, которую следует обязательно пометить в схеме.

Получаем матрицу

, (17.3)

если m<n, или при m=n

. (17.4)

2-ой этап – «обратный ход». На этом этапе размножают нули над главной диагональю матриц (17.3) или(17.4), продвигаясь вдоль нее в обратном направлении: вверх и влево. При этом получается матрица вида (16.4). Решение системы с такой матрицей рассмотрено в разделе 16.

Несложным оказывается решение систем и с матрицей вида (17.3) или (17.4), которые получаются в результате «прямого хода». Решаем такую систему, начиная с последнего уравнения и подставляя найденные неизвестные в предыдущие уравнения.

Пример 17.1. Решить систему уравнений методом Гаусса:

«Прямой ход»:

«Обратный ход»: полученную расширенную матрицу запишем в виде системы уравнений

Будем решать эту систему, начиная с последнего уравнения. Значение из последнего уравнения системы подставим во второе уравнение: . Получим . Теперь найденные значения переменных подставим в первое уравнение для нахождения . Тогда

Ответ:

Обратный ход можно также записать в матричной форме. Для этого размножают нули над 1, начиная с нижнего правого угла и перемещаясь вдоль главной диагонали вверх.

Вид полученной матрицы позволяет сделать вывод о том, что заданная в этом примере система совместна и определенна.

Приведем теперь пример несовместной системы.

Пример 17.2: Решить систему

Решение: Выпишем расширенную матрицу этой системы. В левом верхнем ее углу стоит 1. Для размножения нулей под 1 умножим первую строку на -2 и прибавим ко второй строке. Затем умножим первую строку на -3 и прибавим к третьей строке.

Размножив нули в первом столбце, мысленно отбросим первую строку и первый столбец и продолжим прямой ход в матрице, расположенной внутри пунктирной линии. В результате всех преобразований получена противоречивая строка

,

а следовательно система несовместна и решения не имеет.

Ответ: нет решения.

Следует отметить, что с помощью схемы Гаусса можно решать одновременно нескольких систем с одинаковыми левыми частями и различными правыми. Приведем такой пример.

Пример 17.3: Решить две системы

Решение. «Прямой ход»:

«Обратный ход»:

Ответ:

18. Нахождение решения в базисной форме.

Схема Гаусса позволяет на первом этапе определить, является ли система совместной. И если система совместна (нет противоречивых строк), то по виду матрицы в конце «прямого хода» можно судить о том, является ли она определенной (квадратная матрица) или неопределенной (число строк меньше, чем число столбцов).

Пример 18.1 Методом Гаусса решить систему и представить ее решение в базисной форме:

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и выполним первый этап схемы Гаусса – «прямой ход».

Прямой ход завершен. Число строк меньше, чем число столбцов, а значит система неопределенная и имеет бесконечное множество решений.

«Обратный ход». Выпишем теперь эквивалентную систему с новой матрицей.

Перенесем слагаемые с переменной в правую часть равенств. Получим

Подставляя значение x из последнего уравнения в предыдущее, получаем

Следовательно, решением системы является совокупность

где -- свободная переменная, а ­­- базисные переменные.

Пример 18.2. Методом Гаусса решить однородную систему и представить ее решение в базисной форме:

Решение: Для однородной системы столбец свободных членов нулевой, поэтому выписывают не расширенную, а обычную матрицу системы.

«Прямой ход»:

.

«Обратный ход»:

где - свободная переменная, - базисные переменные.

Сделаем здесь проверку, то есть подставим найденное решение в исходную систему. Тогда имеем:

§ 19. Вычисление обратной матрицы по схеме Гаусса.

Пусть - неособенная квадратная матрица. Тогда для нее существует обратная матрица . Обозначим через столбец номер обратной матрицы . По определению

Отсюда, для нахождения -того столбца обратной матрицы необходимо решить систему

(19.1)

Для нахождения всей матрицы необходимо решить n систем вида (19.1) с одинаковыми левыми частями и различными правыми, состоящими из нулей и одной 1 в -ой строке.

Таким образом, расширенная матрица имеет вид:

Пример 19.1. Методом Гаусса найти матрицу, обратную матрице . Используя найденную обратную матрицу, решить систему

Решение. Составим расширенную матрицу и выполним «прямой ход».

Обратная матрица находится в правой части расширенной матрицы за вертикальной чертой. Таким образом,

. Решим теперь заданную систему в матричном виде:

.

Ответ:

§ 20. Понятие об -мерном арифметическом пространстве и

-мерном векторе.

Пусть задано произвольных чисел .

Определение 20.1. Упорядоченную совокупность чисел назовем -мерным вектором и обозначим . Числа назовем координатами вектора.

Введем алгебру -мерных векторов. Пусть даны два вектора и . Тогда

1) два вектора равны, если равны соответствующие координаты, то есть

2) ноль вектором называется вектор ;

3) суммой векторов назовем вектор

; (20.1)

4) произведением скаляра (числа) на вектор назовем вектор

. (20.2)

Определение 20.2. Множество -мерных векторов, для которых определены операции сложения и умножения на скаляр, называются -мерным арифметическим пространством.

Пусть - -мерные векторы, а - скаляры. С помощью правил (20.1) и (20.2) составим новый -мерный вектор

. Вектор называется линейной комбинацией векторов

Пример 20.1. Найти линейную комбинацию.

Пример 20.2. Найти линейную комбинацию заданных векторов

Рассмотрим векторов вида

(20.3)

Тогда любой вектор -мерного пространства является их линейной комбинацией. Действительно, легко убедиться, что Система векторов (20.3) называется естественным базисом.

При арифметическое пространство имеет геометрическую интерпретацию. Вектор – направленный отрезок прямой.