Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Групи, підгрупи. Приклади. Найпростіші властивості груп





Алгебраїчна операція-це функція, що діє з декартового квадрату (АxА→А) в А(не порожня множина).АxА={(а,b),а є А, b є А}.

Внутрішня алгебраїчна операція завжди є необмежено виконана, однозначна та замкнена на мн.А. Результат дії операції прийнято позначати с=а f b або с=a*b.

Непорожня множина А, на якій задано хоча б одну алгебраїчну операцію, назив.алгебраїчною системою, та познач.: (А;*), де *-алгебраїчне позначення. Наприклад:групи, кільця, тіла..

Непорожня множина G на якій задана бінарна алгебраїчна операція(функція f, що діє з декартового добутку f:Р×А→А) назив.групою,якщо виконуються наступні умови:

1) для будь-яких a,b є G, існує і єдиний елемент с є G:[с=a*b]-замкненість;

2)для будь-яких a,b,с є G:[а*(b*с)=(а*b)*с]-асоціативність;

3)для будь-якого a є G існує e є G: [а*e=e*а=а]-існування нейтрального;

4) для будь-якого a є G існує х є G:[а*х=х*а=e]-існування симетричного.

Якщо крім цього виконується аксіома 5) для будь-яких a,b є G:[а*b=b*а],то група назив. комутативною або абелевою.

Групи, у яких «*» означає множення назив. мультиплікативною, а в яких «*» позначено додавання – адитивною.

Приклади:Адетивні гр. (Z;+),(Q;+),(R;+),(C;+).

Мультиплікативні абелеві гр. (Q\{0};*), ( R\{0};·), (С\{0};*). Загальна лінійна гр.(GLn(R);·) в якій GLn(R)-множина не вироджених матриць n-го порядку над полем R; Р(х)-(поліном), Мm,n-(матриці) -групи. Мn – не група, особливі матриці обернених не мають, С[а,b] – не група,бо не всі функції мають обернені.

Найпростіші властивості груп:

1)Нейтральний елемент визначений в групі однозначно.

Нехай е1 і е2 – нейтральні елементи.Покажемо, що е12.Тоді для будь-якого а є G:а*е1 = =е1*а=а; а*е2 = =е2*а=а.Тоді е2 = е1* е2= е1▲

2)Кожний елемент групи має єдиний симетричний.

Припустимо,що існує а є G:

а*х1=е і а*х2=е,(х1 та х2 – його симетричні).

х11*е= х1**х2)=( х1*а)*х2*х22 х12▲

3)Для будь-якого а є G обернений а-1 тільки один.

Нехай u і v-довільні обернені для а: аu=uа=е і аv=vа=е. u=uе=u(аv)=(uа)v=



=еv= v u = v

4)е-1=е.

Дійсно, е*е=е е-1

5)-1)-1=а.

Дійсно а-1*а=а*а-1-1)-1

6)(аb)-1= b-1а-1.

Дійсно, (аb)( b-1а-1)=а(bb-1-1=аеа-1=аа-1=е. Аналогічно ( b-1а-1)(аb)=е, значить(аb)-1= b-1а-1

Не порожня підмножина Н групи G називається підгрупоюцієї групи, якщо Н є групою відносно операції визначеної на G.(Познач. Н≤ G)

Напр.(Q\{0}; ٠)≤(R\{0};٠)≤ ≤(С\{0};٠), (2Ζ;+)≤(Ζ;+)? (SLn;٠)≤ (СLn;٠). Підгрупами будь-якої групи є одинична підгрупа Е і сама ця група. Критерій підгрупи:

Непорожня підмножина Н мультиплікативної групи G є її підгрупою тоді і тільки тоді,коли Н замкнена відносно«*»елементів та взяття обернених елементів,т.б. Н містить добутки всіх своїх елементів і містить обернені до всіх своїх елементів.

Необхідність. Нехай Н< G,покажемо виконання умов:

Н1: для будь-яких а, b є Н [аb є Н]

[а+b є Н]; Н2: для будь-якого а є Н

-1є Н] [-а є Н].Тоді Н сама є групою і за означенням групи

аb є Н(замкненість операції над Н),а-1 є Н(існування обернених

е-тів).

Достатність.Якщо Н містить добутки своїх елементів і обернених до них, то виконуються аксіоми (1,4) групи.Асоціативність множення елементів у Н випливає із асоціативності множення у G. Якщо х є Н, то х-1є Н і х*х-1=е=1 є Н. Отже, Н є групою.

Наслідок.Н є підгрупою G , коли виконується умова:для будь-яких х,у є Н [ху-1 є Н].






Date: 2015-04-23; view: 730; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2020 year. (0.015 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию