![]() Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
![]() Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
![]() |
Групи, підгрупи. Приклади. Найпростіші властивості груп
Алгебраїчна операція -це функція, що діє з декартового квадрату (АxА→А) в А(не порожня множина).АxА={(а,b),а є А, b є А}. Внутрішня алгебраїчна операція завжди є необмежено виконана, однозначна та замкнена на мн.А. Результат дії операції прийнято позначати с=а f b або с=a*b. Непорожня множина А, на якій задано хоча б одну алгебраїчну операцію, назив.алгебраїчною системою, та познач.: (А;*), де *-алгебраїчне позначення. Наприклад:групи, кільця, тіла.. Непорожня множина G на якій задана бінарна алгебраїчна операція(функція f, що діє з декартового добутку f:Р×А→А) назив. групою, якщо виконуються наступні умови: 1) для будь-яких a,b є G, існує і єдиний елемент с є G:[с=a*b]-замкненість; 2)для будь-яких a,b,с є G:[а*(b*с)=(а*b)*с]-асоціативність; 3)для будь-якого a є G існує e є G: [а*e=e*а=а]-існування нейтрального; 4) для будь-якого a є G існує х є G:[а*х=х*а=e]-існування симетричного. Якщо крім цього виконується аксіома 5) для будь-яких a,b є G:[а*b=b*а],то група назив. комутативною або абелевою. Групи, у яких «*» означає множення назив. мультиплікативною, а в яких «*» позначено додавання – адитивною. Приклади: Адетивні гр. (Z;+),(Q;+),(R;+),(C;+). Мультиплікативні абелеві гр. (Q\{0};*), (R\{0}; ·), (С\{0};*). Загальна лінійна гр.(GLn(R); ·) в якій GLn(R)-множина не вироджених матриць n-го порядку над полем R; Р(х)-(поліном), Мm,n-(матриці) -групи. Мn – не група, особливі матриці обернених не мають, С[а,b] – не група,бо не всі функції мають обернені. Найпростіші властивості груп: 1)Нейтральний елемент визначений в групі однозначно. ▲Нехай е1 і е2 – нейтральні елементи.Покажемо, що е1=е2.Тоді для будь-якого а є G:а*е1 = =е1*а=а; а*е2 = =е2*а=а.Тоді е2 = е1* е2= е1▲ 2)Кожний елемент групи має єдиний симетричний. ▲Припустимо,що існує а є G: а*х1=е і а*х2=е,(х1 та х2 – його симетричні). х1=х1*е= х1*(а*х2)=(х1*а)*х2=е*х2=х2 3) Для будь-якого а є G обернений а-1 тільки один. ▲Нехай u і v-довільні обернені для а: аu=uа=е і аv=vа=е. u=uе=u(аv)=(uа)v= =еv= v 4) е-1=е. ▲Дійсно, е*е=е 5) (а-1)-1=а. ▲Дійсно а-1*а=а*а-1=е 6) (аb)-1= b-1а-1. ▲Дійсно, (аb)(b-1а-1)=а(bb-1)а-1=аеа-1=аа-1=е. Аналогічно (b-1а-1)(аb)=е, значить(аb)-1= b-1а-1▲ Не порожня підмножина Н групи G називається підгрупою цієї групи, якщо Н є групою відносно операції визначеної на G.(Познач. Н≤ G) Напр. (Q\{0}; ٠)≤(R\{0};٠)≤ ≤(С\{0};٠), (2Ζ;+)≤(Ζ;+)? (SLn;٠)≤ (СLn;٠). Підгрупами будь-якої групи є одинична підгрупа Е і сама ця група. Критерій підгрупи: Непорожня підмножина Н мультиплікативної групи G є її підгрупою тоді і тільки тоді,коли Н замкнена відносно«*»елементів та взяття обернених елементів,т.б. Н містить добутки всіх своїх елементів і містить обернені до всіх своїх елементів. ▲ Необхідність. Нехай Н< G,покажемо виконання умов: Н1: для будь-яких а, b є Н [аb є Н] [а+b є Н]; Н2: для будь-якого а є Н [а-1є Н] [-а є Н].Тоді Н сама є групою і за означенням групи аb є Н(замкненість операції над Н),а-1 є Н(існування обернених е-тів). Достатність. Якщо Н містить добутки своїх елементів і обернених до них, то виконуються аксіоми (1,4) групи.Асоціативність множення елементів у Н випливає із асоціативності множення у G. Якщо х є Н, то х-1є Н і х*х-1=е=1 є Н. Отже, Н є групою.▲ Наслідок. Н є підгрупою G Date: 2015-04-23; view: 1148; Нарушение авторских прав |