Теорема 9 (Ван-Обеля). Если отрезки АА1, ВВ1, СС1, где А1, В1, С1 – точки на сторонах ВС, АС, АВ треугольника АВС, – чевианы с общей точкой Q, то
= + .
Доказательство. Проведем прямую l через точку А параллельно ВС. Пусть В 2 и С 2 точки пересечения прямой l с прямыми ВQ и СQ (рис. 98).
Поскольку D В 2 QС 2 D ВQС, то = .
Из подобия D QАС 2 и D QА 1 С следует = . Поэтому = , или = , или = + .
Поскольку D АС 1 С 2 D ВС 1 С и D АВ 1 В 2 D СВ 1 В, то = и = . Тогда = + .
Следствие 11. Если Q – центр тяжести треугольника АВС и А 1 – середина стороны ВС, то АQ: QА 1 = 2.
Действительно, по теореме Ван-Обеля = + = + = 2.
Следствие 12. Если Q – центр вписанного в треугольник АВС круга и А 1 – основание биссектрисы угла А, то АQ: QА 1 = , а = ВС, b = АС, с = АВ.
Действительно. С учетом теоремы о биссектрисе угла по теореме Ван-Обеля будем иметь = + = + = .
Следствие 13. Если Q – точка пересечения Жеогона и А 1 – точка аксания вписанного круга со стороной ВС, то = .
Учтя теорему 11.3, по теореме Ван-Обеля имеем = + =
= + = (р – а) = (р – а) = .
Следствие 14. Если Q – точка Нагеля и А 1 – точка касания вневписанного круга со стороной ВС, то АQ: QА 1 = а: (р – а).
Сучетом следствия 1 по теореме Ван-Обеля:
= + = + + = = .
Теорема 10 (Жаргона). Если Q – точка пересечения чевиан АА 1, ВВ 1, СС 1 треугольника АВС, то + + = 1 и + + = 2.
Доказательство. Поскольку D ВВ 2 В 1 D QQ 2 В 1 (Ð ВВ 2 В 1 = Ð QQ 2 В 1 = 90°, Ð В 1 – общий), то
= = .
Аналогично получим, = , = .
Тогда + + = + + = = 1. Первое из необходимых равенств доказано.
Поскольку QА = АА 1 – QА 1, то = 1 – .
Аналогично, = 1 – , = 1 – .
Поэтому + + = (1 – ) + (1 – ) + (1 – ) =
= 3 – ( + + ) = 3 – 1 = 2.
Теорема 11 (Карно). Сумма R + r радиусов окружностей, описанной около треугольника и вписанной в него, равна d 1 + d 2 ± d 3, d 1 Ù d 2 Ù d 3, где d 1, d 2, d 3 – расстояния от центра описанной окружности до сторон треугольника, при этом знак минус для тупоугольного треугольника.
Доказательство. Пусть О – центр описанной около треугольника АВС окружности, М, N, Р – основания перепндикуляров, опущенных из точки О на стороны ВС, АС, АВ соответственно, т.е. МО, NО, РО – серединные перпендикуляры к сторонам треугольника АВС.
Пусть треугольник АВС – остроугольный (рис. 100). Тогда рr = SABC = SAOB + SBOC + SAOC = АВ ОР + ВС ОМ +
+ АС ОN = с d 3 + a d 1 + b d 2.
Поскольку четырёхугольник АРОN имеет два противоположных прямых угла, то его можно вписать в окружность. Применив к нему теорему Птолемея, получим
АО РN = ОР АN + ОN АР, или R = d 3 + d 2 .
Аналогично, R = d 1 + d 2 , R = d 1 + d 3 .
Сложив три последних равенства, получим
R р = d 1 + d 2 + d 3 .
Поэтому Rр + rp = (d 1 + d 2 + d 3 ) + d 1 a + d 2 b + d 3 c =
= d 1 + d 2 + d 3 = (d 1 + d 2 + d 3) p.
Значит, R + r = d 1 + d 2 + d 3.
Пусть теперь треугольник АВС – тупоугольный (рис. 101). Тогда
рr = SABC = SСOB + SАOC – SAOВ = а d 1 + b d 2 – c d 3. Поскольку четырёхугольники ОРМВ, ОМСN, ОРNА – вписанные, то по теореме Птолемея: d 1 = d 3 + R ,
R = d 1 + d 2 , d 2 = d 3 + R .
Из этих равенств получим
R + R + R = ( d 1 – d 3) + (d 1 + d 2 ) + ( d 2 – d 3 ).
Значит, rp + Rр = ( а d 1 + b d 2 – c d 3) + (d 1 + d 2 – d 3 ) =
= d 1 + d 2 – d 3 = (d 1 + d 2 – d 3) p.
Задача 4. Многоугольник, который может быть вписан в круг, разделен непересекающимися диагоналями на треугольники. Доказать, что сумма диаметров кругов, вписанных в эти треугольники, не зависит от того, как проведены диагонали
Доказательство. Пусть O – центр круга, описанного около данного многоугольника, А 1 А 2… Аn. Тогда в этот круг будут вписаны все треугольники, возникающие при проведении диагоналей.
Для каждого треугольника можно применить теорему Карно
R + rк = d 1 к + d 2 к ± d 3 к .
Правила для выбора знака “+” или ”–“ можно интерпретировать так: знак “+” перед величиной перпендикуляра d 3 к ставится тогда, когда треугольник и центр круга О лежат по одну сторону от прямой, к которой проводится перепендикуляр, и ”–“ – если лежат по разные стороны.
Учитывая, что каждая диагональ разделяет два смежных треугольника, расстояние до этой смежной стороны для одного треугольника будет входить в сумму со знаком “+”, а для дркгого со знаком ”–“. При сложении равенств для R + rк, записанных для всех треугольников, расстояния до диагоналей взаимно сокращаются и в сумме останутся только расстояния di от центра О до сторон многоугольника. Поэтому
= , откуда = .
Последнее равенство показывает, что сумма радиусов, а значит и диаметров, вписанных в треугольники кругов, не зависит от того, как проведены диагонали.
Date: 2015-05-05; view: 5000; Нарушение авторских прав Понравилась страница? Лайкни для друзей: |
|
|