Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Теорема 9 (Ван-Обеля). Если отрезки АА1, ВВ1, СС1, где А1, В1, С1 – точки на сторонах ВС, АС, АВ треугольника АВС, – чевианы с общей точкой Q, то





= + .

Доказательство. Проведем прямую l через точку А параллельно ВС. Пусть В 2 и С 2 точки пересечения прямой l с прямыми ВQ и СQ (рис. 98).

Поскольку D В 2 2 D ВQС, то = .

Из подобия D QАС 2 и D 1 С следует = . Поэтому = , или = , или = + .

Поскольку D АС 1 С 2 D ВС 1 С и D АВ 1 В 2 D СВ 1 В, то = и = . Тогда = + .

 

Следствие 11. Если Q – центр тяжести треугольника АВС и А 1 – середина стороны ВС, то АQ: 1 = 2.

Действительно, по теореме Ван-Обеля = + = + = 2.

 

Следствие 12. Если Q – центр вписанного в треугольник АВС круга и А 1 – основание биссектрисы угла А, то АQ: 1 = , а = ВС, b = АС, с = АВ.

Действительно. С учетом теоремы о биссектрисе угла по теореме Ван-Обеля будем иметь = + = + = .

 

Следствие 13. Если Q – точка пересечения Жеогона и А 1 – точка аксания вписанного круга со стороной ВС, то = .

Учтя теорему 11.3, по теореме Ван-Обеля имеем = + =

= + = (р – а) = (р – а) = .

 

Следствие 14. Если Q – точка Нагеля и А 1 – точка касания вневписанного круга со стороной ВС, то АQ: 1 = а: (р – а).

Сучетом следствия 1 по теореме Ван-Обеля:

= + = + + = = .

 

Теорема 10 (Жаргона). Если Q – точка пересечения чевиан АА 1, ВВ 1, СС 1 треугольника АВС, то + + = 1 и + + = 2.

Доказательство. Поскольку D ВВ 2 В 1 D QQ 2 В 1ВВ 2 В 1 = Ð QQ 2 В 1 = 90°, Ð В 1 – общий), то

= = .

Аналогично получим, = , = .

Тогда + + = + + = = 1. Первое из необходимых равенств доказано.

Поскольку = АА 1 1, то = 1 – .

Аналогично, = 1 – , = 1 – .

Поэтому + + = (1 – ) + (1 – ) + (1 – ) =

= 3 – ( + + ) = 3 – 1 = 2.

 

Теорема 11 (Карно). Сумма R + r радиусов окружностей, описанной около треугольника и вписанной в него, равна d 1 + d 2 ± d 3, d 1 Ù d 2 Ù d 3, где d 1, d 2, d 3 – расстояния от центра описанной окружности до сторон треугольника, при этом знак минус для тупоугольного треугольника.

Доказательство. Пусть О – центр описанной около треугольника АВС окружности, М, N, Р – основания перепндикуляров, опущенных из точки О на стороны ВС, АС, АВ соответственно, т.е. МО, NО, РО – серединные перпендикуляры к сторонам треугольника АВС.

Пусть треугольник АВС – остроугольный (рис. 100). Тогда рr = SABC = SAOB + SBOC + SAOC = АВ ОР + ВС ОМ +

+ АС ОN = с d 3 + a d 1 + b d 2.

Поскольку четырёхугольник АРОN имеет два противоположных прямых угла, то его можно вписать в окружность. Применив к нему теорему Птолемея, получим

АО РN = ОР АN + ОN АР, или R = d 3 + d 2 .

Аналогично, R = d 1 + d 2 , R = d 1 + d 3 .

Сложив три последних равенства, получим

R р = d 1 + d 2 + d 3 .

Поэтому + rp = (d 1 + d 2 + d 3 ) + d 1 a + d 2 b + d 3 c =

= d 1 + d 2 + d 3 = (d 1 + d 2 + d 3) p.

Значит, R + r = d 1 + d 2 + d 3.

Пусть теперь треугольник АВС – тупоугольный (рис. 101). Тогда

рr = SABC = SСOB + SАOCSAOВ = а d 1 + b d 2 c d 3. Поскольку четырёхугольники ОРМВ, ОМСN, ОРNА – вписанные, то по теореме Птолемея: d 1 = d 3 + R ,

R = d 1 + d 2 , d 2 = d 3 + R .

Из этих равенств получим

R + R + R = ( d 1 d 3) + (d 1 + d 2 ) + ( d 2d 3 ).

Значит, rp + = ( а d 1 + b d 2 c d 3) + (d 1 + d 2 d 3 ) =

= d 1 + d 2 d 3 = (d 1 + d 2d 3) p.

 

Задача 4. Многоугольник, который может быть вписан в круг, разделен непересекающимися диагоналями на треугольники. Доказать, что сумма диаметров кругов, вписанных в эти треугольники, не зависит от того, как проведены диагонали

Доказательство. Пусть O – центр круга, описанного около данного многоугольника, А 1 А 2Аn. Тогда в этот круг будут вписаны все треугольники, возникающие при проведении диагоналей.

Для каждого треугольника можно применить теорему Карно

R + rк = d 1 к + d 2 к ± d 3 к .

Правила для выбора знака “+” или ”–“ можно интерпретировать так: знак “+” перед величиной перпендикуляра d 3 к ставится тогда, когда треугольник и центр круга О лежат по одну сторону от прямой, к которой проводится перепендикуляр, и ”–“ – если лежат по разные стороны.

Учитывая, что каждая диагональ разделяет два смежных треугольника, расстояние до этой смежной стороны для одного треугольника будет входить в сумму со знаком “+”, а для дркгого со знаком ”–“. При сложении равенств для R + rк, записанных для всех треугольников, расстояния до диагоналей взаимно сокращаются и в сумме останутся только расстояния di от центра О до сторон многоугольника. Поэтому

= , откуда = .

Последнее равенство показывает, что сумма радиусов, а значит и диаметров, вписанных в треугольники кругов, не зависит от того, как проведены диагонали.

 

Date: 2015-05-05; view: 4889; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.008 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию