Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Теорема 9 (Ван-Обеля). Если отрезки АА1, ВВ1, СС1, где А1, В1, С1 – точки на сторонах ВС, АС, АВ треугольника АВС, – чевианы с общей точкой Q, то





= + .

Доказательство. Проведем прямую l через точку А параллельно ВС. Пусть В2 и С2 точки пересечения прямой l с прямыми ВQ и СQ (рис. 98).

Поскольку D В22 D ВQС, то = .

Из подобия D QАС2 и D 1С следует = . Поэтому = , или = , или = + .

Поскольку D АС1С2 D ВС1С и D АВ1В2 D СВ1В, то = и = . Тогда = + .

 

Следствие 11. Если Q – центр тяжести треугольника АВС и А1 – середина стороны ВС, то АQ : 1 = 2.

Действительно, по теореме Ван-Обеля = + = + = 2.

 

Следствие 12. Если Q – центр вписанного в треугольник АВС круга и А1 – основание биссектрисы угла А, то АQ : 1 = , а = ВС, b = АС, с = АВ.

Действительно. С учетом теоремы о биссектрисе угла по теореме Ван-Обеля будем иметь = + = + = .

 

Следствие 13. Если Q – точка пересечения Жеогона и А1 – точка аксания вписанного круга со стороной ВС, то = .

Учтя теорему 11.3, по теореме Ван-Обеля имеем = + =

= + = (р – а) = (р – а) = .

 

Следствие 14. Если Q – точка Нагеля и А1 – точка касания вневписанного круга со стороной ВС, то АQ : 1 = а : (р – а).

Сучетом следствия 1 по теореме Ван-Обеля:

= + = + + = = .

 

Теорема 10 (Жаргона). Если Q – точка пересечения чевиан АА1, ВВ1, СС1 треугольника АВС, то + + = 1 и + + = 2.

Доказательство.Поскольку D ВВ2В1 D QQ2В1ВВ2В1 = Ð QQ2В1 = 90°, Ð В1 – общий), то

= = .

Аналогично получим, = , = .

Тогда + + = + + = = 1. Первое из необходимых равенств доказано.

Поскольку = АА11, то = 1 – .

Аналогично, = 1 – , = 1 – .

Поэтому + + = (1 – ) + (1 – ) + (1 – ) =

= 3 – ( + + ) = 3 – 1 = 2.

 

Теорема 11 (Карно). Сумма R + r радиусов окружностей, описанной около треугольника и вписанной в него, равна d1 + d2 ± d3, d1 Ù d2 Ù d3, где d1, d2, d3 – расстояния от центра описанной окружности до сторон треугольника, при этом знак минус для тупоугольного треугольника.



Доказательство.Пусть О – центр описанной около треугольника АВС окружности, М, N, Р – основания перепндикуляров, опущенных из точки О на стороны ВС, АС, АВ соответственно, т.е. МО, NО, РО – серединные перпендикуляры к сторонам треугольника АВС.

Пусть треугольник АВС – остроугольный (рис. 100). Тогда рr = SABC = SAOB + SBOC + SAOC = АВ ОР + ВС ОМ +

+ АС ОN = с d3 + a d1 + b d2.

Поскольку четырёхугольник АРОN имеет два противоположных прямых угла, то его можно вписать в окружность. Применив к нему теорему Птолемея, получим

АО РN = ОР АN + ОN АР, или R = d3 + d2 .

Аналогично, R = d1 + d2 , R = d1 + d3 .

Сложив три последних равенства, получим

R р = d1 + d2 + d3 .

Поэтому + rp = (d1 + d2 + d3 ) + d1 a + d2 b + d3 c =

= d1 + d2 + d3 = (d1 + d2 + d3) p.

Значит, R + r = d1 + d2 + d3.

Пусть теперь треугольник АВС – тупоугольный (рис. 101). Тогда

рr = SABC = SСOB + SАOCSAOВ = а d1 + b d2 c d3. Поскольку четырёхугольники ОРМВ, ОМСN, ОРNА – вписанные, то по теореме Птолемея: d1 = d3 + R ,

R = d1 + d2 , d2 = d3 + R .

Из этих равенств получим

R + R + R = ( d1 d3) + (d1 + d2 ) + ( d2d3 ).

Значит, rp + = ( а d1 + b d2 c d3) + (d1 + d2 d3 ) =

= d1 + d2 d3 = (d1 + d2d3) p.

 

Задача 4. Многоугольник, который может быть вписан в круг, разделен непересекающимися диагоналями на треугольники. Доказать, что сумма диаметров кругов, вписанных в эти треугольники, не зависит от того, как проведены диагонали

Доказательство. Пусть O – центр круга, описанного около данного многоугольника, А1А2Аn. Тогда в этот круг будут вписаны все треугольники, возникающие при проведении диагоналей.

Для каждого треугольника можно применить теорему Карно

R + rк = d1к + d2к ± d3к.

Правила для выбора знака “+” или ”–“ можно интерпретировать так: знак “+” перед величиной перпендикуляра d3к ставится тогда, когда треугольник и центр круга О лежат по одну сторону от прямой, к которой проводится перепендикуляр, и ”–“ – если лежат по разные стороны.

Учитывая, что каждая диагональ разделяет два смежных треугольника, расстояние до этой смежной стороны для одного треугольника будет входить в сумму со знаком “+”, а для дркгого со знаком ”–“. При сложении равенств для R + rк, записанных для всех треугольников, расстояния до диагоналей взаимно сокращаются и в сумме останутся только расстояния di от центра О до сторон многоугольника. Поэтому

= , откуда = .

Последнее равенство показывает, что сумма радиусов, а значит и диаметров, вписанных в треугольники кругов, не зависит от того, как проведены диагонали.

 






Date: 2015-05-05; view: 3572; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2019 year. (0.012 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию