![]() Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать неотразимый комплимент
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
![]() Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
![]() |
Теорема 9 (Ван-Обеля). Если отрезки АА1, ВВ1, СС1, где А1, В1, С1 – точки на сторонах ВС, АС, АВ треугольника АВС, – чевианы с общей точкой Q, то⇐ ПредыдущаяСтр 27 из 27
Доказательство. Проведем прямую l через точку А параллельно ВС. Пусть В2 и С2 точки пересечения прямой l с прямыми ВQ и СQ (рис. 98). Поскольку D В2QС2 Из подобия D QАС2 и D QА1С следует Поскольку D АС1С2
Следствие 11. Если Q – центр тяжести треугольника АВС и А1 – середина стороны ВС, то АQ : QА1 = 2. Действительно, по теореме Ван-Обеля
Следствие 12. Если Q – центр вписанного в треугольник АВС круга и А1 – основание биссектрисы угла А, то АQ : QА1 = Действительно. С учетом теоремы о биссектрисе угла по теореме Ван-Обеля будем иметь
Следствие 13. Если Q – точка пересечения Жеогона и А1 – точка аксания вписанного круга со стороной ВС, то Учтя теорему 11.3, по теореме Ван-Обеля имеем =
Следствие 14. Если Q – точка Нагеля и А1 – точка касания вневписанного круга со стороной ВС, то АQ : QА1 = а : (р – а). Сучетом следствия 1 по теореме Ван-Обеля:
Теорема 10 (Жаргона). Если Q – точка пересечения чевиан АА1, ВВ1, СС1 треугольника АВС, то
Аналогично получим, Тогда Поскольку QА = АА1 – QА1, то Аналогично, Поэтому = 3 – (
Теорема 11 (Карно). Сумма R + r радиусов окружностей, описанной около треугольника и вписанной в него, равна d1 + d2 ± d3, d1 Ù d2 Ù d3, где d1, d2, d3 – расстояния от центра описанной окружности до сторон треугольника, при этом знак минус для тупоугольного треугольника.
Пусть треугольник АВС – остроугольный (рис. 100). Тогда рr = SABC = SAOB + SBOC + SAOC = + Поскольку четырёхугольник АРОN имеет два противоположных прямых угла, то его можно вписать в окружность. Применив к нему теорему Птолемея, получим АО РN = ОР АN + ОN АР, или R Аналогично, R Сложив три последних равенства, получим R р = d1 Поэтому Rр + rp = (d1 = d1 Значит, R + r = d1 + d2 + d3.
рr = SABC = SСOB + SАOC – SAOВ = R Из этих равенств получим R Значит, rp + Rр = ( = d1
Задача 4. Многоугольник, который может быть вписан в круг, разделен непересекающимися диагоналями на треугольники. Доказать, что сумма диаметров кругов, вписанных в эти треугольники, не зависит от того, как проведены диагонали
Для каждого треугольника можно применить теорему Карно R + rк = d1к + d2к ± d3к. Правила для выбора знака “+” или ”–“ можно интерпретировать так: знак “+” перед величиной перпендикуляра d3к ставится тогда, когда треугольник и центр круга О лежат по одну сторону от прямой, к которой проводится перепендикуляр, и ”–“ – если лежат по разные стороны. Учитывая, что каждая диагональ разделяет два смежных треугольника, расстояние до этой смежной стороны для одного треугольника будет входить в сумму со знаком “+”, а для дркгого со знаком ”–“. При сложении равенств для R + rк, записанных для всех треугольников, расстояния до диагоналей взаимно сокращаются и в сумме останутся только расстояния di от центра О до сторон многоугольника. Поэтому
Последнее равенство показывает, что сумма радиусов, а значит и диаметров, вписанных в треугольники кругов, не зависит от того, как проведены диагонали.
|