Главная Случайная страница



Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника







Теорема 1. Произведение секущей, проведённой через точку М вне круга, на её внешнюю часть есть величина постоянная





Доказательство. Пусть проведены секущие МА и МС к окружности с центром О из точки М вне круга. Докажем, что МА МВ = МС МD.

Поскольку Δ АDМ ~ Δ СВМ (Ð А = Ð С – как вписанные углы, опирающиеся на одну и туже дугу ВD, Ð М – общий), то , откуда МА МВ = МС МD.

Следствие 1. Произведение секущей, проведённой через точку М, находящуюся на расстоянии а от центра круга

радиуса R, а > R, на её внешнюю часть равна а2 – R2.

Действительно, по теореме 1:

МА МВ = МС МD = (а + R) (a – R) = a2 – R2 (рис. 38).

Теорема 2. Если на сторонах угла с вершиной М взяты 4 точки А, В, С, D (рис. 39) такие, что МА МВ = МС МD, то точки А, В, С, D лежат на одной окружности.

Доказательство. Пусть через точки А, В, С проведена окружность и D1 – её вторая точка пересечения с прямой МС. Тогда по теореме 1: МА МВ = МС МD1, кроме того по условию МА МВ = МС МD. Тогда МС МD1 = МС МD. Поэтому точки D1 и D совпадают.

 

Теорема 3. Если через точку М внутри круга проведена хорда, то произведение частей хорды, на которые она делится точкой М, есть величина постоянная.

Доказательство.Пусть через точку М внутри круга с центром О произвольно проведены две хорды АВ и СD. Докажем, что МА МВ = МС МВ (рис. 40). Из подобия ΔАМС и ΔВМD, (Ð АМС = Ð ВМD, Ð САВ = Ð СDВ) имеем , или МА МВ = МС МD.

 

Следствие 2. Произведение частей хорды, на которые она делится точкой М, находящейся на расстоянии а от центра круга радиуса R, а < R, равно R2 – а2.

Действительно, по теореме 2 (рис. 41)

МА МВ = МС МD = (R + a) (R – a) = R2 – а2.

 

Теорема 4. Если отрезки АВ и СD пересекаются в точке М и МА МВ = МС МD, то точки А, В, С, D принадлежат одной окружности.

Доказательство. Через точки А, В, С проведём окружность (рис. 42). Пусть D1 – её вторая точка пересечения с прямой СМ. Тогда по теореме 3 МА МВ = МС МD1, а по условию МА МВ = МС МD. Тогда МС МD1 = МС МD, или МD1 = МD, и, значит точки D1 и D совпадают.



 

Теорема 5. Произведение секущей, проведённой через точку М вне круга, на её внешнюю часть равно квадрату касательной (рис. 43).

Доказательство. Из подобия Δ АТМ и Δ ВТМ (Ð М – общий, Ð А = Ð ВТМ) имеем , или МА МВ = МТ2.

Теорема 6. Если на сторонах угла с вершиной М взяты точки А, В, С (рис. 44) так, что МА МВ = МС2, то МС – касательная к окружности, проведённой через точки А, В, С.

Доказательство.Проведём окружность через точки А, В, С. Пусть С1 – вторая точка пересечения прямой МС с этой окружностью. Тогда по теореме 1 МС МС1 = МА МВ. Но по условию МА МВ = МС2. Поэтому МС МС1 = МС2, или МС1 = МС. Значит, точки С1 и С совпадают. Прямая МС имеет с окружностью общую точку и поэтому она – касательная.

 

Задача 1. В круг поместили замкнутую ломанную из пяти звеньев одинаковой длинны. Каждое звено ломаной продолжили до пересечения с окружностью отрезками зелёного и синего цвета, причём из одной вершины ломаной выходят отрезки разного цвета. Доказать, что сумма длин зелёных отрезков совпадает с суммой длин синих.

Доказательство. Пусть звенья ломаной АВСDЕ, находящейся в круге, имеют длину а, зі и сі – длины отрезков, продолжающих і-ое звено ломаной до окружности (рис. 45). По теореме 3 будем иметь

с1 (а + з1) = з5 (а + с5),

с2 (а + з2) = з1 (а + с1),

с3 (а + з3) = з2 (а + с2),

с4 (а + з4) = з3 (а + с3),

с5 (а + з5) = з4 (а + с4).

Сложив эти равенства и отбросив равные произведения с1з1, с2з2, с3з3, с4з4, с5з5 из обеих частей, получим (с1 + с2 + с3 + с4 + с5) а = (з1 + з2 + з3 + + з4 + з5) а, откуда следует искомое равенство.

7.2.Из теорем 1 и 3 следует, что величина a2 – R2 является характеристикой взаимного расположения круга и точки из плоскости круга, где а – расстояние от точки до центра круга, R – радиус круга. Величину a2 – R2 называют степенью точки по отношению к кругу.

Теорема 7. ГМТ, которые имеют одну и ту же степень в отношении двух кругов, есть перпендикуляр к линии их центров.

Доказательство. Пусть О и О1 – центры кругов с радиусами R и R1 (рис. 46). Пусть точка М имеет одинаковые степени по отношению к двум кругам. Тогда

ОМ2 – R2 = O1M2 – R12, откуда

ОМ2 – O1M2 = R2– R12.

По следствию 4.3 точка М принадлежит определённому перпендикуляру к прямой ОО1. Пусть N –произвольная точка перпендикуляра к прямой ОО1, который определён условием ОМ2 – O1M2 = R2– R12.

Тогда ОN2 – O1N2 = R2– R12, или ОN2 – R2 = O1N2 – R12.

Последнее равенство означает, что точка N имеет одинаковые степени по отношению к двум кругам. Доказательство остаётся в силе, если, например, R1 = 0.

 

Следствие 3. ГМТ, степени которых по отношению к заданной точке равны, есть перпендикуляр к прямой, которая проходит через эту точку и центр окружности.

ГМТ, о которых идёт речь в теореме 7 и следствии 3, называются радикальной осью двух кругов и радикальной осью круга и точки соответственно.

Следствие 4. Два концентрических круга не имеют радикальной оси.



Следствие 5. Радикальная ось двух пересекающихся кругов проходит через точки пересечения соответствующих окружностей.

Действительно, степени точек А и В (рис. 47) по отношению к каждому из кругов О и О1 равны нулю.

 

Следствие 6. Радикальная ось касающихся кругов совпадает с их общей касательной, проведённой через точку касания.

Действительно, если бы радикальная ось имела с окружностью О одну, кроме А, общую точку В (рис. 48), то эта точка должна была иметь степень О и в отношении к кругу О1. Поэтому она принадлежала бы и окружности О1. Но окружности не имеют других общих точек, кроме А. Поэтому радикальная ось является касательной к окружности О, и значит, к кругу О1.

 

Следствие 7. Радикальные оси любых двух из трёх окружностей или параллельны, или пересекаются в одной точке.

Действительно, если какие-нибудь две из трёх радикальных осей имеют общую точку, то через неё пройдёт и третья радикальная ось.

 








Date: 2015-05-05; view: 1529; Нарушение авторских прав



mydocx.ru - 2015-2021 year. (0.025 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию