![]() Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать неотразимый комплимент
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
![]() Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
![]() |
Теорема 1. Произведение секущей, проведённой через точку М вне круга, на её внешнюю часть есть величина постоянная
Следствие 1. Произведение секущей, проведённой через точку М, находящуюся на расстоянии а от центра круга радиуса R, а > R, на её внешнюю часть равна а2 – R2. Действительно, по теореме 1: МА
Доказательство. Пусть через точки А, В, С проведена окружность и D1 – её вторая точка пересечения с прямой МС. Тогда по теореме 1: МА
Доказательство.Пусть через точку М внутри круга с центром О произвольно проведены две хорды АВ и СD. Докажем, что МА
Следствие 2. Произведение частей хорды, на которые она делится точкой М, находящейся на расстоянии а от центра круга радиуса R, а < R, равно R2 – а2.
МА
Теорема 4. Если отрезки АВ и СD пересекаются в точке М и МА
Теорема 5. Произведение секущей, проведённой через точку М вне круга, на её внешнюю часть равно квадрату касательной (рис. 43).
Доказательство.Проведём окружность через точки А, В, С. Пусть С1 – вторая точка пересечения прямой МС с этой окружностью. Тогда по теореме 1 МС
Задача 1. В круг поместили замкнутую ломанную из пяти звеньев одинаковой длинны. Каждое звено ломаной продолжили до пересечения с окружностью отрезками зелёного и синего цвета, причём из одной вершины ломаной выходят отрезки разного цвета. Доказать, что сумма длин зелёных отрезков совпадает с суммой длин синих.
с1 (а + з1) = з5 (а + с5), с2 (а + з2) = з1 (а + с1), с3 (а + з3) = з2 (а + с2), с4 (а + з4) = з3 (а + с3), с5 (а + з5) = з4 (а + с4). Сложив эти равенства и отбросив равные произведения с1з1, с2з2, с3з3, с4з4, с5з5 из обеих частей, получим (с1 + с2 + с3 + с4 + с5) а = (з1 + з2 + з3 + + з4 + з5) а, откуда следует искомое равенство. 7.2.Из теорем 1 и 3 следует, что величина a2 – R2 является характеристикой взаимного расположения круга и точки из плоскости круга, где а – расстояние от точки до центра круга, R – радиус круга. Величину a2 – R2 называют степенью точки по отношению к кругу. Теорема 7. ГМТ, которые имеют одну и ту же степень в отношении двух кругов, есть перпендикуляр к линии их центров.
ОМ2 – R2 = O1M2 – R12, откуда ОМ2 – O1M2 = R2– R12. По следствию 4.3 точка М принадлежит определённому перпендикуляру к прямой ОО1. Пусть N –произвольная точка перпендикуляра к прямой ОО1, который определён условием ОМ2 – O1M2 = R2– R12. Тогда ОN2 – O1N2 = R2– R12, или ОN2 – R2 = O1N2 – R12. Последнее равенство означает, что точка N имеет одинаковые степени по отношению к двум кругам. Доказательство остаётся в силе, если, например, R1 = 0.
Следствие 3. ГМТ, степени которых по отношению к заданной точке равны, есть перпендикуляр к прямой, которая проходит через эту точку и центр окружности. ГМТ, о которых идёт речь в теореме 7 и следствии 3, называются радикальной осью двух кругов и радикальной осью круга и точки соответственно. Следствие 4. Два концентрических круга не имеют радикальной оси.
Действительно, степени точек А и В (рис. 47) по отношению к каждому из кругов О и О1 равны нулю.
Действительно, если бы радикальная ось имела с окружностью О одну, кроме А, общую точку В (рис. 48), то эта точка должна была иметь степень О и в отношении к кругу О1. Поэтому она принадлежала бы и окружности О1. Но окружности не имеют других общих точек, кроме А. Поэтому радикальная ось является касательной к окружности О, и значит, к кругу О1.
Следствие 7. Радикальные оси любых двух из трёх окружностей или параллельны, или пересекаются в одной точке. Действительно, если какие-нибудь две из трёх радикальных осей имеют общую точку, то через неё пройдёт и третья радикальная ось.
|