![]() Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
![]() Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
![]() |
Теорема 1. Произведение секущей, проведённой через точку М вне круга, на её внешнюю часть есть величина постоянная
Следствие 1. Произведение секущей, проведённой через точку М, находящуюся на расстоянии а от центра круга радиуса R, а > R, на её внешнюю часть равна а 2 – R 2. Действительно, по теореме 1: МА
Доказательство. Пусть через точки А, В, С проведена окружность и D 1 – её вторая точка пересечения с прямой МС. Тогда по теореме 1: МА
Доказательство. Пусть через точку М внутри круга с центром О произвольно проведены две хорды АВ и СD. Докажем, что МА
Следствие 2. Произведение частей хорды, на которые она делится точкой М, находящейся на расстоянии а от центра круга радиуса R, а < R, равно R 2 – а 2.
МА
Теорема 4. Если отрезки АВ и СD пересекаются в точке М и МА
Теорема 5. Произведение секущей, проведённой через точку М вне круга, на её внешнюю часть равно квадрату касательной (рис. 43).
Доказательство. Проведём окружность через точки А, В, С. Пусть С 1 – вторая точка пересечения прямой МС с этой окружностью. Тогда по теореме 1 МС
Задача 1. В круг поместили замкнутую ломанную из пяти звеньев одинаковой длинны. Каждое звено ломаной продолжили до пересечения с окружностью отрезками зелёного и синего цвета, причём из одной вершины ломаной выходят отрезки разного цвета. Доказать, что сумма длин зелёных отрезков совпадает с суммой длин синих.
с 1 (а + з 1 ) = з 5 (а + с 5 ), с 2 (а + з 2 ) = з 1 (а + с 1 ), с 3 (а + з 3 ) = з 2 (а + с 2 ), с 4 (а + з 4 ) = з 3 (а + с 3 ), с 5 (а + з 5 ) = з 4 (а + с 4 ). Сложив эти равенства и отбросив равные произведения с 1 з 1, с 2 з 2, с 3 з 3, с 4 з 4, с 5 з 5 из обеих частей, получим (с 1 + с 2 + с 3 + с 4 + с 5 ) а = (з 1 + з 2 + з 3 + + з 4 + з 5 ) а, откуда следует искомое равенство. 7.2. Из теорем 1 и 3 следует, что величина a 2 – R 2 является характеристикой взаимного расположения круга и точки из плоскости круга, где а – расстояние от точки до центра круга, R – радиус круга. Величину a 2 – R 2 называют степенью точки по отношению к кругу. Теорема 7. ГМТ, которые имеют одну и ту же степень в отношении двух кругов, есть перпендикуляр к линии их центров.
ОМ 2 – R 2 = O 1 M 2 – R 12, откуда ОМ 2 – O 1 M 2 = R 2 – R 12. По следствию 4.3 точка М принадлежит определённому перпендикуляру к прямой ОО 1. Пусть N –произвольная точка перпендикуляра к прямой ОО 1, который определён условием ОМ 2 – O 1 M 2 = R 2 – R 12. Тогда ОN 2 – O 1 N 2 = R 2 – R 12, или ОN 2 – R 2 = O 1 N 2 – R 12. Последнее равенство означает, что точка N имеет одинаковые степени по отношению к двум кругам. Доказательство остаётся в силе, если, например, R 1 = 0.
Следствие 3. ГМТ, степени которых по отношению к заданной точке равны, есть перпендикуляр к прямой, которая проходит через эту точку и центр окружности. ГМТ, о которых идёт речь в теореме 7 и следствии 3, называются радикальной осью двух кругов и радикальной осью круга и точки соответственно. Следствие 4. Два концентрических круга не имеют радикальной оси.
Действительно, степени точек А и В (рис. 47) по отношению к каждому из кругов О и О 1 равны нулю.
Действительно, если бы радикальная ось имела с окружностью О одну, кроме А, общую точку В (рис. 48), то эта точка должна была иметь степень О и в отношении к кругу О 1. Поэтому она принадлежала бы и окружности О 1. Но окружности не имеют других общих точек, кроме А. Поэтому радикальная ось является касательной к окружности О, и значит, к кругу О 1.
Следствие 7. Радикальные оси любых двух из трёх окружностей или параллельны, или пересекаются в одной точке. Действительно, если какие-нибудь две из трёх радикальных осей имеют общую точку, то через неё пройдёт и третья радикальная ось.
Date: 2015-05-05; view: 2732; Нарушение авторских прав |