Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Биссектрисы треугольника





Из школы известно, что три биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной в этот треугольник окружности.

Теорема 1. Биссектриса угла А треугольника АВС точкой пересечения биссектрис делится в отношении , считая от стороны, где а, b, с – длины сторон ВС, АС, АВ соответственно.

Доказательство. Пусть АА1 и ВВ1 – биссектрисы углов А и В соответственно в треугольнике АВС, L – их точка пересечения, а, b, с – длины сторон ВС, АС, АВ соответственно (рис.62). Тогда по теореме о биссектрисе, применённой к треугольнику АВС будем иметь

= , или b ВА1 = ас – с ВА1, или ВА1 (b + с) = ас, значит, ВА1 = с. По этой же теореме, примененной к треугольнику АВА1 получим А1L : = : с, или = .

 

 

Теорема 2. Если L – центр вписанного в треугольник АВС круга, то

Ð АLВ = 90° + Ð С.

Доказательство. Учитывая, что сумма углов треугольника равна 180° и что центр L вписанного круга является точкой пересечения биссектрис треугольника, будем иметь (рис. 62):

Ð АLВ = 180° – (Ð АВL + Ð ВАL) = 180° – (Ð АВС + Ð ВАС) =

= 180° – (180° – Ð С) = 180° – 90° + Ð С = 90° + Ð С.

Теорема 3. Если L – точка на биссектрисе угла С треугольника АВС такая, что Ð АLВ = 90° + Ð С, то L – центр вписанного в треугольник АВС круга.

Доказательство. Докажем, что ни одна из точек L1 между C и L не может являтся центром вписанного круга (рис. 62а).

Имеем Ð АL1С1 < Ð АLС1, так как внешний угол треугольника АL1L больше любого внутреннего угла, не смежного с ним. Так же Ð ВL1С < Ð ВLС1.

Поэтому Ð АL1В < Ð АLВ = 90° + Ð С. Значит, L1 не является центром вписанного круга, так как не выполнено условие признака центра вписанного круга (см. теорему 2).

Если же точка L2 на биссектрисе СС1 не принадлежит отрезкуу СL, то Ð АL2В > Ð АLВ = 90° + Ð С и снова не выполнено условие признака центра вписанного круга. Значит, центром вписанного круга является точка L.



 

Теорема 4. Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанного круга со стороной, проходящей через эту вершину, равно полупериметру этого треугольника, уменьшенному на противоположную сторону.

Доказательство.Пусть А1, В1, С1 – точки касания вписанного круга со сторонами треугольника АВС (рис. 63), а, b, с – длины сторон ВС, АС, АВ соответственно.

Пусть АС1 = х, Тогда АВ1 = х, ВС1 = с – х = ВА1, В1С = b – х = СА1,

а = ВС = ВА1 + СА1 = (с – х) + (b – х) = с + b – 2 х.

Тогда а + а = а + b + с – 2 х, или 2 а = 2 р – 2 х, или х = р – а.

 

Теорема 5.В любом треугольнике АВС через точку L пересечения биссектрис двух внешних его углов проходит биссектриса третьего угла, при этом точка L находится на одинаковых расстояниях от прямых, содержащих стороны треугольника.

Доказательство. Пусть L – точка пересечения двух внешних углов В и С треугольникаа АВС (рис. 64). Поскольку каждая точка биссектрисы находится на одинаковом расстоянии от сторон угла, то точка L находится на одинаковом расстоянии от прямых АВ и ВС, так как она принадлежит биссектрисе ВL. Она же находится на одинаковом расстоянии от прямых ВС и АС, так как принадлежит биссектрисе СL. Поэтому точка L находится на одинаковом расстоянии прямых АВ, АС и ВС. Поскольку точка L находится на одинаковом расстоянии от прямых АВ и АС, то АО – биссектриса угла ВАС.

Окружность, которая касается стороны треугольника и продолжений двух других сторон, называют вневписанной в этот треугольник окружностью.

 

Следствие 1. Центры вневписанных в треугольник окружностей находятся в точках пересечения пар биссектрис его внешних углов.

 

Теорема 6. Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению стороны этого трегольника и косинуса половины противолежащего угла, умноженному на синусы половин двух остальных углов:

r = sin sin .

Доказательство. Пусть L – центр вписанной в треугольник АВС окружности, А1 – точка её касания со стороной ВС, а – длина стороны ВС (рис. 65). По теореме синусов, применённой к треугольнику ВLС, получим

= , откуда ВL = =

= = .

Поэтому из прямоугольного треугольника ВLА1 имеем

r = LA1 = BL sin = sin sin .

 






Date: 2015-05-05; view: 959; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2019 year. (0.006 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию