![]() Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать неотразимый комплимент
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
![]() Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
![]() |
Медианы треугольникаТеорема 1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2 : 1, считая от вершины. Доказательство. Пусть АА1 и ВВ1 – медианы треугольника АВС, М – точка их пересечения (рис. 52). Поскольку А1В1 – средняя линия треугольника АВС, то А1В1||АВ и А1В1 = Тогда Ð МА1В1 = Ð МАВ, Ð МВ1А = Ð МВ1А1 – как Поэтому D МАВ Пусть медианы АА1 и СС1 пересекаются в точке N. Тогда АN : NA1 = 2 : 1, значит, точки М и N совпадают. Точку пересечения медиан треугольника называют ещё центром тяжести треугольника.
Иной раз бывает полезным при решении задач, связанных с медианой треугольника, продолжить её на такое же расстояние за точку пересечения со стороной треугольника.
Задача 1. Найти площадь треугольника со сторонами 6 и 8, если медиана, проведённая к третьей стороне, равна 5.
В треугольнике АА1С все три стороны известны: АС = 6, А1С = 8, АА1 = 2 АМ = 10. Поэтому
Теорема 1. Три прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке. Доказательство.Через вершины треугольника АВС проведены прямые, параллельные противоположным сторонам. Тогда получим D А1В1С1 (рис. 55). Поскольку АС1ВС и АВА1С – параллелограммы, то АС = С1В = ВА1. Значит В – середина стороны А1С1. Так же: А – середина стороны В1С1, С – середина стороны А1В1. Высоты треугольника АВС являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника А1В1С1, поскольку АВ||А1В1, ВС||В1С1, АС||А1С1. Поскольку серединные перпендикуляры D А1В1С1 пересекаются в одной точке, то совпадающие с ними прямые, содержащие высоты DАВС, пересекаются в одной точке. Точку Н пересечения высот D АВС называют его ортоцентром. Теорема 2. Для каждого треугольника его ортоцентр Н, центр О описанной окружности и центр тяжести М лежат на одной прямой, причём ОМ : МН = 1 : 2.
Рассмотрим гомотетию Прямую, которой принадлежит ортоцентр треугольника, его центр тяжести и центр описанного круга, называют прямой Эйлера. Теорема 3. Для любого треугольника АВС середины его сторон и основания высот лежат на одной окружности, которая делит пополам отрезки от вершин треугольника до ортоцентра. Центр этой окружности лежит на прямой Эйлера и делит пополам отрезок между ортоцентром Н и центром О описанного круга. Середины отрезков от вершин до ортоцентра называют точками Эйлера. Доказательство. Пусть А1, В1, С1 – середины сторон треугольника АВС (рис. 57), А2, В2, С2 – основания его высот, А3, В3, С3 – середины отрезков АН, ВН, СН, где Н – ортоцентр. Будем иметь: А1В1||АВ и А1В1 = А1В3||НС и А1В3 = А3В1 = Так же доказывается, что А1С1А3С3 – прямоугольник. Поскольку отрезки А1А3, В1В3 и С1С3 являются диагоналями этих прямоугольников, то они пересекаются в одной точке Q. Поэтому точки А1, В1, С1, А3, В3, С3 лежат на одной окружности с центром Q. Точка А2 находится на этой окружности, поскольку Ð А1А2А3 = 90°. Так же устанавливаем, что В2 находится на окружности с диаметром В1В3, а С2 – на окружности с диаметром С1С3, т.е. на одной и той же окружности. Центр Q этой окружности находится на серединном перпендикуляре к хорде А1А2, который делит пополам отрезок ОН, где О – центр описанной около треугольника АВС окружности. Действительно, А1О ^ ВС, А2Н ^ ВС, поэтому перпендикуляр к А1А2 делит пополам отрезок ОН, будучи параллельным А1О и А2Н. Так же серединный перпендикуляр к хорде В1В2 содержит центр Q окружности и проходит через середину отрезка ОН. Значит, Q – середина ОН. Окружность, которая проходит через середины сторон треугольника, основания его высот и делит пополам отрезки от вершин до ортоцентра, называется окружностью девяти точек, или окружностью Эйлера.
Следствие 1. Диаметр окружности Эйлера равен радиусу описанной около треугольника окружности. Действительно, окружность Эйлера можно рассматривать, как окружность, описанную около треугольника А1В1С1 из средних линий (рис. 58). Поскольку треугольник АВС подобен треугольнику А1В1С1 с коэффициентом подобия 2, то радиус описанной около треугольника АВС окружности вдвое больше радиуса окружности, описанной около треугольника А1В1С1, значит он равен диаметру окружности девяти точек. Теорема 4 (Гамильтона). Если Н – ортоцентр треугольника АВС, то треугольники АВС, АВН, ВСН, АСН имеют общую окружность девяти точек. Доказательство.Пусть в треугольнике АВС: Н – ортоцентр, А1, В1, С1– середины сторон, А2, В2, С2 – основания высот, А3, В3, С3 – точки Эйлера (середины отрезков,
Следствие 2. Радиусы окружностей, описанных около треугольников АВС, АВН, ВСН, АСН, равны. Действительно, каждый из названных радиусов равен диаметру окружности Эйлера (следствие 1), а поэтому они равны между собой.
Теорема 5 (Файербаха). Окружность девяти точек касается вписанной окружности и трёх вневписанных окружностей.
Чтобы доказать касание вписанной окружности и окружности Эйлера, достаточно доказать, что расстояние между их центрами L и Q равна разности радиуса RQ окружности Эйлера и rL вписанной окружности. Из точки Q опустим перпендикуляр ОR на LХ, LХ ^ АВ. Из треугольника QRL найдем QL2 = QR2 + RL2. Поскольку QR = А1Х – А1Т и RL = QТ – LХ, то QL2 = (А1Х – А1Т)2 + (QТ – LХ)2. Докажем, что QТ = Точки А1, А3 принадлежат окружности Эйлера, А1А3 – диаметр этой окружности, ОА – радиус описанной окружности. По следствию 1: А1А3 = ОА. Поскольку ОА1||АА3, то А1А3АО – параллелограмм. Значит, ОА1 = АА3, и ОК = А2А3. Поскольку А2 и А3 принадлежат окружности Эйлера, то QА2А3 – равнобедренный треугольник. Значит, QТ = Поэтому QL2 = (А1Х – = А1Х2 + = = = ( = ( Теперь докажем, что А1Х ХА2 = KD LX. Имеем D АКD KD LX = А1А2 ХF (1). Остается доказать, что А1А2 ХF = А1Х ХА2. Имеем D EFC Треугольник LEС – равнобедренный: Ð LCЕ = Ð ELC = Поэтому Вычитая компоненты этого равенства от А1А2 А1Х, получим: А1А2 А1Х – А1F А1А2 = А1А2 А1Х – А1Х2 или А1А2 (А1Х – А1F) =А1Х (А1А2 – А1Х) или А1А2 (А1Х – А1F) = А1Х ХА2 или А1А2 ХF = А1Х ХА2. Тогда KD LX = А1Х ХА2 = А1А2 ХF. Теперь равенство (1) можно записать так KD LX = А1Х ХА2. Поэтому QL2 = ( = (
Теорема 6. Произведение двух сторон треугольника равно произведению диаметра описанного круга на высоту, проведенную к третьей стороне.
Поскольку LC = LС1, то прямоугольные треугольники АНС и АВС1 подобны. Поэтому
Следствие 3. Радиус описанного около треугольника круга равен произведению двух его сторон, поделенному на удвоенную высоту, проведенную к третьей стороне: R =
|