Главная Случайная страница



Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника







Медианы треугольника





Теорема 1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Доказательство. Пусть АА1 и ВВ1 – медианы треугольника АВС, М – точка их пересечения (рис. 52). Поскольку А1В1 – средняя линия треугольника АВС, то А1В1||АВ и А1В1 = АВ.

Тогда Ð МА1В1 = Ð МАВ, Ð МВ1А = Ð МВ1А1 – как внутренние накрестлежащие при параллельных прямых АВ и А1В1 и секущей АА1 (для первого равенства) и секущей ВВ1 (для другого равенства).

Поэтому D МАВ D МА1В1. и = 2 : 1.

Пусть медианы АА1 и СС1 пересекаются в точке N. Тогда АN : NA1 = 2 : 1, значит, точки М и N совпадают.

Точку пересечения медиан треугольника называют ещё центром тяжести треугольника.

Это название можно объяснить следующим образом. Пусть АВС – треугольная однородная пластина. Если представить её разделённой на очень узкие пластины, как показано на рисунке 53, то легко понять, что центры тяжести этих пластин находятся на медиане АА1. Поэтому центр тяжести пластины находится в определённой точке медианы АА1. Так же устанавливается, что центр тяжести пластины АВС находится и на медиане ВВ1, а значит, в точке пересечения медиан АА1 и ВВ1.

Иной раз бывает полезным при решении задач, связанных с медианой треугольника, продолжить её на такое же расстояние за точку пересечения со стороной треугольника.

 

Задача 1. Найти площадь треугольника со сторонами 6 и 8, если медиана, проведённая к третьей стороне, равна 5.

Решение. Пусть в D АВС: АВ = 8, АС = 6 и медиана АМ = 5. Продолжим медиану АМ за точку М на расстояние 5, получим точку А1. Поскольку АВА1С – параллелограмм, то треугольники АВС и АА1С имеют равные площади.

В треугольнике АА1С все три стороны известны:

АС = 6, А1С = 8, АА1 = 2 АМ = 10.

Поэтому .

 

§ 10. Высоты треугольника

Теорема 1. Три прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство.Через вершины треугольника АВС проведены прямые, параллельные противоположным сторонам. Тогда получим D А1В1С1 (рис. 55).



Поскольку АС1ВС и АВА1С – параллелограммы, то АС = С1В = ВА1. Значит В – середина стороны А1С1. Так же: А – середина стороны В1С1, С – середина стороны А1В1. Высоты треугольника АВС являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника А1В1С1, поскольку АВ||А1В1, ВС||В1С1, АС||А1С1.

Поскольку серединные перпендикуляры D А1В1С1 пересекаются в одной точке, то совпадающие с ними прямые, содержащие высоты DАВС, пересекаются в одной точке. Точку Н пересечения высот D АВС называют его ортоцентром.

Теорема 2. Для каждого треугольника его ортоцентр Н, центр О описанной окружности и центр тяжести М лежат на одной прямой, причём ОМ : МН = 1 : 2.

Доказательство. Пусть Н – ортоцентр треугольника АВС, М – точка пересечения его медиан, О – точка пересечения перпендикуляров к сторонам.

Через вершины А, В, С проведём прямые, параллельные сторонам треугольника АВС. В полученном треугольнике А1В1С1 стороны треугольника АВС являются средними линиями (рис. 56). Поскольку АВА1С – параллелограмм, то прямая АМ пройдёт через А1 и А0 – середину стороны ВС. Так же прямая ВМ пройдёт через В1, а СМ – через С1. Поэтому D АВС и D А1В1С1 имеют общий центр тяжести – точку М.

Рассмотрим гомотетию .При этом преобразовании : А1 ® А, В1 ® В, С1 ® С. Поэтому DА1В1С1 перейдёт в D АВС, поскольку отрезок переходит в отрезок. Центр описанного около треугольника А1В1С1 круга перейдёт в центр О описанного около треугольника АВС круга. Но центром описанного около треугольника А1В1С1 круга является, как установлено в доказательстве теоремы 1, ортоцентр Н треугольника АВС. Значит, точки Н и М лежат на прямой, проходящей через центр М гомотетии. Кроме того, НМ : МО = 2 : 1 (с учетом коэффициента гомотетии).

Прямую, которой принадлежит ортоцентр треугольника, его центр тяжести и центр описанного круга, называют прямой Эйлера.

Теорема 3. Для любого треугольника АВС середины его сторон и основания высот лежат на одной окружности, которая делит пополам отрезки от вершин треугольника до ортоцентра. Центр этой окружности лежит на прямой Эйлера и делит пополам отрезок между ортоцентром Н и центром О описанного круга.

Середины отрезков от вершин до ортоцентра называют точками Эйлера.

Доказательство. Пусть А1, В1, С1 – середины сторон треугольника АВС (рис. 57), А2, В2, С2 – основания его высот, А3, В3, С3 – середины отрезков АН, ВН, СН, где Н – ортоцентр. Будем иметь: А1В1||АВ и А1В1 = АВ, поскольку А1В1 – средняя линия треугольника АВС; А3В3||АВ и А3В3 = АВ, поскольку А3В3 – средняя линия D АВН;

А1В3||НС и А1В3 = НС, как средняя линия треугольника ВСН; А3В1||НС и

А3В1 = НС, как средняя линия треугольника НСА. Отсюда следует, что А1В1А3В3 – параллелограмм. Поскольку СН ^ АВ, А3В1||НС, А3В3||АВ, то А3В1 ^ А3В3, и поэтому А1В1А3В3 – прямоугольник.

Так же доказывается, что А1С1А3С3 – прямоугольник.

Поскольку отрезки А1А3, В1В3 и С1С3 являются диагоналями этих прямоугольников, то они пересекаются в одной точке Q. Поэтому точки А1, В1, С1, А3, В3, С3 лежат на одной окружности с центром Q.



Точка А2 находится на этой окружности, поскольку Ð А1А2А3 = 90°. Так же устанавливаем, что В2 находится на окружности с диаметром В1В3, а С2 – на окружности с диаметром С1С3, т.е. на одной и той же окружности. Центр Q этой окружности находится на серединном перпендикуляре к хорде А1А2, который делит пополам отрезок ОН, где О – центр описанной около треугольника АВС окружности. Действительно, А1О ^ ВС, А2Н ^ ВС, поэтому перпендикуляр к А1А2 делит пополам отрезок ОН, будучи параллельным А1О и А2Н. Так же серединный перпендикуляр к хорде В1В2 содержит центр Q окружности и проходит через середину отрезка ОН. Значит, Q – середина ОН.

Окружность, которая проходит через середины сторон треугольника, основания его высот и делит пополам отрезки от вершин до ортоцентра, называется окружностью девяти точек, или окружностью Эйлера.

 

Следствие 1. Диаметр окружности Эйлера равен радиусу описанной около треугольника окружности.

Действительно, окружность Эйлера можно рассматривать, как окружность, описанную около треугольника А1В1С1 из средних линий (рис. 58). Поскольку треугольник АВС подобен треугольнику А1В1С1 с коэффициентом подобия 2, то радиус описанной около треугольника АВС окружности вдвое больше радиуса окружности, описанной около треугольника А1В1С1, значит он равен диаметру окружности девяти точек.

Теорема 4 (Гамильтона). Если Н – ортоцентр треугольника АВС, то треугольники АВС, АВН, ВСН, АСН имеют общую окружность девяти точек.

Доказательство.Пусть в треугольнике АВС: Н – ортоцентр, А1, В1, С1– середины сторон, А2, В2, С2 – основания высот, А3, В3, С3 – точки Эйлера (середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами) (Рис.59). По теореме 3 все эти точки принадлежат окружности Эйлера треугольника АВС. Три из этих точек А3, С1, С2 – принадлежат окружности Эйлера треугольника АВН: А3 – середина стороны АН, С1 – середина стороны АВ, С2 – основание перпендикуляра НС2. Поскольку окружность однозначно определяется тремя точками, то окружность Эйлера треугольника АВН совпадает с окружностью Эйлера треугольника АВС.

 

Следствие 2. Радиусы окружностей, описанных около треугольников АВС, АВН, ВСН, АСН, равны.

Действительно, каждый из названных радиусов равен диаметру окружности Эйлера (следствие 1), а поэтому они равны между собой.

 

Теорема 5 (Файербаха). Окружность девяти точек касается вписанной окружности и трёх вневписанных окружностей.

Доказательство.Пусть , А1, В1, С1 – середины сторон треугольника АВС, А2, В2, С2 – основания его высот, А3, В3, С3 – точки Эйлера, L – точка пересечения биссектрис AF и CN треугольника АВС, Q – центр окружности Эйлера треугольника АВС, О – центр круга, описанного около треугольника АВС, Н – ортоцентр треугольника АВС (рис.60).

Чтобы доказать касание вписанной окружности и окружности Эйлера, достаточно доказать, что расстояние между их центрами L и Q равна разности радиуса RQ окружности Эйлера и rL вписанной окружности.

Из точки Q опустим перпендикуляр ОR на LХ, LХ ^ АВ. Из треугольника QRL найдем QL2 = QR2 + RL2. Поскольку QR = А1Х – А1Т и RL = QТ – LХ, то

QL2 = (А1Х – А1Т)2 + (QТ – LХ)2.

Докажем, что QТ = ОК, где К – основание перпендикуляра АК на , – серединный перпендикуляр к ВС. Через точку Е проходит биссектриса АЕ угла ВАС.

Точки А1, А3 принадлежат окружности Эйлера, А1А3 – диаметр этой окружности, ОА – радиус описанной окружности. По следствию 1: А1А3 = ОА. Поскольку ОА1||АА3, то А1А3АО – параллелограмм. Значит, ОА1 = АА3, и ОК = А2А3. Поскольку А2 и А3 принадлежат окружности Эйлера, то 2А3 – равнобедренный треугольник. Значит, QТ = А2А3, или QТ = ОК. Поскольку – перпендикуляр к хорде А1А2, то А1Т = А1А2.

Поэтому QL2 = (А1Х – А1А2)2 + + ( ОК – LХ)2 =

= А1Х2 + А1А22А1Х А1А2 + ОК2 + LХ2 ОК LХ =

= А1А22 + ОК2 + LХ2 ОК LХ + А1Х2А1Х А1А2 =

= (А1А22 + ОК2) + LХ2 ОК LХ + А1Х(А1ХА1А2) =

= ( ОА2 + 2) – ОК LХ – А1Х(А1А2А1Х) = ( ОА2 + 2) – ОК LХ – А1Х ХА2 =

= ( ОА2 + 2) – (ОК LХ + А1Х ХА2) = ( + r2) – (ОК LХ + А1Х ХА2).

Теперь докажем, что А1Х ХА2 = KD LX.

Имеем D АКD D LXF, где F – точка пересечения АЕ с ВС, поскольку они имеют взаимно перпендикулярные стороны. Поэтому = , или = , или

KD LX = А1А2 ХF (1).

Остается доказать, что А1А2 ХF = А1Х ХА2.

Имеем D EFC D EAC: LE – общая; Ð ECF = Ð EAC, как углы, которые опираются на равные дуги ВЕ и СЕ. Поэтому = .

Треугольник LEС – равнобедренный: Ð LCЕ = NBE;

Ð ELC = ( ЕС + АN) = ( ЕВ + ) = NBE.

Поэтому = . Это 4 отрезка прямой ЕА. Заменим эти отрезки их проекциями на ВС: = , или А1F А1А2 = А1Х2.

Вычитая компоненты этого равенства от А1А2 А1Х, получим:

А1А2 А1ХА1F А1А2 = А1А2 А1ХА1Х2 или

А1А2 (А1ХА1F)1Х (А1А2А1Х) или

А1А2 (А1ХА1F) = А1Х ХА2 или А1А2 ХF = А1Х ХА2.

Тогда

KD LX = А1Х ХА2 = А1А2 ХF.

Теперь равенство (1) можно записать так KD LX = А1Х ХА2.

Поэтому QL2 = ( + r2) – (ОК LХ + KD LX) = ( + r2) – (ОК + KD) =

= ( + r2) – LХ ОD = ( + r2r R = = . Это значит, что окружность Эйлера касается вписанной окружности.

 

Теорема 6. Произведение двух сторон треугольника равно произведению диаметра описанного круга на высоту, проведенную к третьей стороне.

Доказательство. Пусть в треугольнике АВС: АН – высота, проведенная к стороне ВС, АС1 – диаметр описанного около этого треугольника круга (рис. 61).

Поскольку LC = LС1, то прямоугольные треугольники АНС и АВС1 подобны. Поэтому , и АВ АС = АС1 АН.

 

Следствие 3. Радиус описанного около треугольника круга равен произведению двух его сторон, поделенному на удвоенную высоту, проведенную к третьей стороне: R = .

 








Date: 2015-05-05; view: 1073; Нарушение авторских прав



mydocx.ru - 2015-2022 year. (0.044 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию