Медианы треугольника

Теорема 1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Доказательство. Пусть АА₁ и ВВ₁ – медианы треугольника АВС, М – точка их пересечения (рис. 52). Поскольку А₁В₁ – средняя линия треугольника АВС, то А₁В₁||АВ и А₁В₁ = АВ.

Тогда Ð МА₁В₁ = Ð МАВ, Ð МВ₁А = Ð МВ₁А₁ – как внутренние накрестлежащие при параллельных прямых АВ и А₁В₁ и секущей АА₁ (для первого равенства) и секущей ВВ₁ (для другого равенства).

Поэтому D МАВ D МА₁В₁. и = 2 : 1.

Пусть медианы АА₁ и СС₁ пересекаются в точке N. Тогда АN : NA₁ = 2 : 1, значит, точки М и N совпадают.

Точку пересечения медиан треугольника называют ещё центром тяжести треугольника.

Это название можно объяснить следующим образом. Пусть АВС – треугольная однородная пластина. Если представить её разделённой на очень узкие пластины, как показано на рисунке 53, то легко понять, что центры тяжести этих пластин находятся на медиане АА₁. Поэтому центр тяжести пластины находится в определённой точке медианы АА₁. Так же устанавливается, что центр тяжести пластины АВС находится и на медиане ВВ₁, а значит, в точке пересечения медиан АА₁ и ВВ₁.

Иной раз бывает полезным при решении задач, связанных с медианой треугольника, продолжить её на такое же расстояние за точку пересечения со стороной треугольника.

Задача 1. Найти площадь треугольника со сторонами 6 и 8, если медиана, проведённая к третьей стороне, равна 5.

Решение. Пусть в D АВС: АВ = 8, АС = 6 и медиана АМ = 5. Продолжим медиану АМ за точку М на расстояние 5, получим точку А₁. Поскольку АВА₁С – параллелограмм, то треугольники АВС и АА₁С имеют равные площади.

В треугольнике АА₁С все три стороны известны:

АС = 6, А₁С = 8, АА₁ = 2 АМ = 10.

Поэтому .

§ 10. Высоты треугольника

Теорема 1. Три прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство.Через вершины треугольника АВС проведены прямые, параллельные противоположным сторонам. Тогда получим D А₁В₁С₁ (рис. 55).

Поскольку АС₁ВС и АВА₁С – параллелограммы, то АС = С₁В = ВА₁. Значит В – середина стороны А₁С₁. Так же: А – середина стороны В₁С₁, С – середина стороны А₁В₁. Высоты треугольника АВС являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника А₁В₁С₁, поскольку АВ||А₁В₁, ВС||В₁С₁, АС||А₁С₁.

Поскольку серединные перпендикуляры D А₁В₁С₁ пересекаются в одной точке, то совпадающие с ними прямые, содержащие высоты DАВС, пересекаются в одной точке. Точку Н пересечения высот D АВС называют его ортоцентром.

Теорема 2. Для каждого треугольника его ортоцентр Н, центр О описанной окружности и центр тяжести М лежат на одной прямой, причём ОМ : МН = 1 : 2.

Доказательство. Пусть Н – ортоцентр треугольника АВС, М – точка пересечения его медиан, О – точка пересечения перпендикуляров к сторонам.

Через вершины А, В, С проведём прямые, параллельные сторонам треугольника АВС. В полученном треугольнике А₁В₁С₁ стороны треугольника АВС являются средними линиями (рис. 56). Поскольку АВА₁С – параллелограмм, то прямая АМ пройдёт через А₁ и А₀ – середину стороны ВС. Так же прямая ВМ пройдёт через В₁, а СМ – через С₁. Поэтому D АВС и D А₁В₁С₁ имеют общий центр тяжести – точку М.

Рассмотрим гомотетию .При этом преобразовании : А₁ ® А, В₁ ® В, С₁ ® С. Поэтому DА₁В₁С₁ перейдёт в D АВС, поскольку отрезок переходит в отрезок. Центр описанного около треугольника А₁В₁С₁ круга перейдёт в центр О описанного около треугольника АВС круга. Но центром описанного около треугольника А₁В₁С₁ круга является, как установлено в доказательстве теоремы 1, ортоцентр Н треугольника АВС. Значит, точки Н и М лежат на прямой, проходящей через центр М гомотетии. Кроме того, НМ : МО = 2 : 1 (с учетом коэффициента гомотетии).

Прямую, которой принадлежит ортоцентр треугольника, его центр тяжести и центр описанного круга, называют прямой Эйлера.

Теорема 3. Для любого треугольника АВС середины его сторон и основания высот лежат на одной окружности, которая делит пополам отрезки от вершин треугольника до ортоцентра. Центр этой окружности лежит на прямой Эйлера и делит пополам отрезок между ортоцентром Н и центром О описанного круга.

Середины отрезков от вершин до ортоцентра называют точками Эйлера.

Доказательство. Пусть А₁, В₁, С₁ – середины сторон треугольника АВС (рис. 57), А₂, В₂, С₂ – основания его высот, А₃, В₃, С₃ – середины отрезков АН, ВН, СН, где Н – ортоцентр. Будем иметь: А₁В₁||АВ и А₁В₁ = АВ, поскольку А₁В₁ – средняя линия треугольника АВС; А₃В₃||АВ и А₃В₃ = АВ, поскольку А₃В₃ – средняя линия D АВН;

А₁В₃||НС и А₁В₃ = НС, как средняя линия треугольника ВСН; А₃В₁||НС и

А₃В₁ = НС, как средняя линия треугольника НСА. Отсюда следует, что А₁В₁А₃В₃ – параллелограмм. Поскольку СН ^ АВ, А₃В₁||НС, А₃В₃||АВ, то А₃В₁ ^ А₃В₃, и поэтому А₁В₁А₃В₃ – прямоугольник.

Так же доказывается, что А₁С₁А₃С₃ – прямоугольник.

Поскольку отрезки А1А3, В1В3 и С1С3 являются диагоналями этих прямоугольников, то они пересекаются в одной точке Q. Поэтому точки А1, В1, С1, А3, В3, С3 лежат на одной окружности с центром Q.

Точка А₂ находится на этой окружности, поскольку Ð А₁А₂А₃ = 90°. Так же устанавливаем, что В₂ находится на окружности с диаметром В₁В₃, а С₂ – на окружности с диаметром С₁С₃, т.е. на одной и той же окружности. Центр Q этой окружности находится на серединном перпендикуляре к хорде А₁А₂, который делит пополам отрезок ОН, где О – центр описанной около треугольника АВС окружности. Действительно, А₁О ^ ВС, А₂Н ^ ВС, поэтому перпендикуляр к А₁А₂ делит пополам отрезок ОН, будучи параллельным А₁О и А₂Н. Так же серединный перпендикуляр к хорде В₁В₂ содержит центр Q окружности и проходит через середину отрезка ОН. Значит, Q – середина ОН.

Окружность, которая проходит через середины сторон треугольника, основания его высот и делит пополам отрезки от вершин до ортоцентра, называется окружностью девяти точек, или окружностью Эйлера.

Следствие 1. Диаметр окружности Эйлера равен радиусу описанной около треугольника окружности.

Действительно, окружность Эйлера можно рассматривать, как окружность, описанную около треугольника А₁В₁С₁ из средних линий (рис. 58). Поскольку треугольник АВС подобен треугольнику А₁В₁С₁ с коэффициентом подобия 2, то радиус описанной около треугольника АВС окружности вдвое больше радиуса окружности, описанной около треугольника А₁В₁С₁, значит он равен диаметру окружности девяти точек.

Теорема 4 (Гамильтона). Если Н – ортоцентр треугольника АВС, то треугольники АВС, АВН, ВСН, АСН имеют общую окружность девяти точек.

Доказательство.Пусть в треугольнике АВС: Н – ортоцентр, А₁, В₁, С₁– середины сторон, А₂, В₂, С₂ – основания высот, А₃, В₃, С₃ – точки Эйлера (середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами) (Рис.59). По теореме 3 все эти точки принадлежат окружности Эйлера треугольника АВС. Три из этих точек А₃, С₁, С₂ – принадлежат окружности Эйлера треугольника АВН: А₃ – середина стороны АН, С₁ – середина стороны АВ, С₂ – основание перпендикуляра НС₂. Поскольку окружность однозначно определяется тремя точками, то окружность Эйлера треугольника АВН совпадает с окружностью Эйлера треугольника АВС.

Следствие 2. Радиусы окружностей, описанных около треугольников АВС, АВН, ВСН, АСН, равны.

Действительно, каждый из названных радиусов равен диаметру окружности Эйлера (следствие 1), а поэтому они равны между собой.

Теорема 5 (Файербаха). Окружность девяти точек касается вписанной окружности и трёх вневписанных окружностей.

Доказательство.Пусть , А₁, В₁, С₁ – середины сторон треугольника АВС, А₂, В₂, С₂ – основания его высот, А₃, В₃, С₃ – точки Эйлера, L – точка пересечения биссектрис AF и CN треугольника АВС, Q – центр окружности Эйлера треугольника АВС, О – центр круга, описанного около треугольника АВС, Н – ортоцентр треугольника АВС (рис.60).

Чтобы доказать касание вписанной окружности и окружности Эйлера, достаточно доказать, что расстояние между их центрами L и Q равна разности радиуса R_Q окружности Эйлера и r_L вписанной окружности.

Из точки Q опустим перпендикуляр ОR на LХ, LХ ^ АВ. Из треугольника QRL найдем QL² = QR² + RL². Поскольку QR = А₁Х – А₁Т и RL = QТ – LХ, то

QL² = (А₁Х – А₁Т)² + (QТ – LХ)².

Докажем, что QТ = ОК, где К – основание перпендикуляра АК на DЕ, DЕ – серединный перпендикуляр к ВС. Через точку Е проходит биссектриса АЕ угла ВАС.

Точки А₁, А₃ принадлежат окружности Эйлера, А₁А₃ – диаметр этой окружности, ОА – радиус описанной окружности. По следствию 1: А₁А₃ = ОА. Поскольку ОА₁||АА₃, то А₁А₃АО – параллелограмм. Значит, ОА₁ = АА₃, и ОК = А₂А₃. Поскольку А₂ и А₃ принадлежат окружности Эйлера, то QА₂А₃ – равнобедренный треугольник. Значит, QТ = А₂А₃, или QТ = ОК. Поскольку QТ – перпендикуляр к хорде А₁А₂, то А₁Т = А₁А₂.

Поэтому QL² = (А₁Х – А₁А₂)² + + ( ОК – LХ)² =

= А₁Х² + А₁А₂² – А₁Х А₁А₂ + ОК² + LХ² –ОК LХ =

= А₁А₂² + ОК² + LХ² –ОК LХ + А₁Х² – А₁Х А₁А₂ =

= (А₁А₂² + ОК²) + LХ² – ОК LХ + А₁Х(А₁Х – А₁А₂) =

= ( ОА² + LХ²) – ОК LХ – А₁Х(А₁А₂ – А₁Х) = ( ОА² + LХ²) – ОК LХ – А₁Х ХА₂ =

= ( ОА² + LХ²) – (ОК LХ + А₁Х ХА₂) = ( + r²) – (ОК LХ + А₁Х ХА₂).

Теперь докажем, что А₁Х ХА₂ = KD LX.

Имеем D АКD D LXF, где F – точка пересечения АЕ с ВС, поскольку они имеют взаимно перпендикулярные стороны. Поэтому = , или = , или

KD LX = А₁А₂ ХF (1).

Остается доказать, что А₁А₂ ХF = А₁Х ХА₂.

Имеем D EFC D EAC: LE – общая; Ð ECF = Ð EAC, как углы, которые опираются на равные дуги ВЕ и СЕ. Поэтому = .

Треугольник LEС – равнобедренный: Ð LCЕ = NBE;

Ð ELC = ( ЕС + АN) = ( ЕВ + NВ) = NBE.

Поэтому = . Это 4 отрезка прямой ЕА. Заменим эти отрезки их проекциями на ВС: = , или А₁F А₁А₂ = А₁Х².

Вычитая компоненты этого равенства от А₁А₂ А₁Х, получим:

А₁А₂ А₁Х – А₁F А₁А₂ = А₁А₂ А₁Х – А₁Х² или

А₁А₂ (А₁Х – А₁F) =А₁Х (А₁А₂ – А₁Х) или

А₁А₂ (А₁Х – А₁F) = А₁Х ХА₂ или А₁А₂ ХF = А₁Х ХА₂.

Тогда

KD LX = А₁Х ХА₂ = А₁А₂ ХF.

Теперь равенство (1) можно записать так KD LX = А₁Х ХА₂.

Поэтому QL² = ( + r²) – (ОК LХ + KD LX) = ( + r²) – LХ (ОК + KD) =

= ( + r²) – LХ ОD = ( + r² – r R = = . Это значит, что окружность Эйлера касается вписанной окружности.

Теорема 6. Произведение двух сторон треугольника равно произведению диаметра описанного круга на высоту, проведенную к третьей стороне.

Доказательство. Пусть в треугольнике АВС: АН – высота, проведенная к стороне ВС, АС₁ – диаметр описанного около этого треугольника круга (рис. 61).

Поскольку LC = LС₁, то прямоугольные треугольники АНС и АВС₁ подобны. Поэтому , и АВ АС = АС₁ АН.

Следствие 3. Радиус описанного около треугольника круга равен произведению двух его сторон, поделенному на удвоенную высоту, проведенную к третьей стороне: R = .