![]() Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
![]() Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
![]() |
Медианы треугольника
Теорема 1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2: 1, считая от вершины. Доказательство. Пусть АА 1 и ВВ 1 – медианы треугольника АВС, М – точка их пересечения (рис. 52). Поскольку А 1 В 1 – средняя линия треугольника АВС, то А 1 В 1 ||АВ и А 1 В 1 = Тогда Ð МА 1 В 1 = Ð МАВ, Ð МВ 1 А = Ð МВ 1 А 1 – как Поэтому D МАВ Пусть медианы АА 1 и СС 1 пересекаются в точке N. Тогда АN: NA 1 = 2: 1, значит, точки М и N совпадают. Точку пересечения медиан треугольника называют ещё центром тяжести треугольника.
Иной раз бывает полезным при решении задач, связанных с медианой треугольника, продолжить её на такое же расстояние за точку пересечения со стороной треугольника.
Задача 1. Найти площадь треугольника со сторонами 6 и 8, если медиана, проведённая к третьей стороне, равна 5.
В треугольнике АА 1 С все три стороны известны: АС = 6, А 1 С = 8, АА 1 = 2 АМ = 10. Поэтому
Теорема 1. Три прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке. Доказательство. Через вершины треугольника АВС проведены прямые, параллельные противоположным сторонам. Тогда получим D А 1 В 1 С 1 (рис. 55). Поскольку АС 1 ВС и АВА 1 С – параллелограммы, то АС = С 1 В = ВА 1. Значит В – середина стороны А 1 С 1. Так же: А – середина стороны В 1 С 1, С – середина стороны А 1 В 1. Высоты треугольника АВС являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника А 1 В 1 С 1, поскольку АВ||А 1 В 1, ВС||В 1 С 1, АС||А 1 С 1. Поскольку серединные перпендикуляры D А 1 В 1 С 1 пересекаются в одной точке, то совпадающие с ними прямые, содержащие высоты D АВС, пересекаются в одной точке. Точку Н пересечения высот D АВС называют его ортоцентром. Теорема 2. Для каждого треугольника его ортоцентр Н, центр О описанной окружности и центр тяжести М лежат на одной прямой, причём ОМ: МН = 1: 2.
Рассмотрим гомотетию Прямую, которой принадлежит ортоцентр треугольника, его центр тяжести и центр описанного круга, называют прямой Эйлера. Теорема 3. Для любого треугольника АВС середины его сторон и основания высот лежат на одной окружности, которая делит пополам отрезки от вершин треугольника до ортоцентра. Центр этой окружности лежит на прямой Эйлера и делит пополам отрезок между ортоцентром Н и центром О описанного круга. Середины отрезков от вершин до ортоцентра называют точками Эйлера. Доказательство. Пусть А 1, В 1, С 1 – середины сторон треугольника АВС (рис. 57), А 2, В 2, С 2 – основания его высот, А 3, В 3, С 3 – середины отрезков АН, ВН, СН, где Н – ортоцентр. Будем иметь: А 1 В 1 ||АВ и А 1 В 1 = А 1 В 3 ||НС и А 1 В 3 = А 3 В 1 = Так же доказывается, что А 1 С 1 А 3 С 3 – прямоугольник. Поскольку отрезки А1А3, В1В3 и С1С3 являются диагоналями этих прямоугольников, то они пересекаются в одной точке Q. Поэтому точки А1, В1, С1, А3, В3, С3 лежат на одной окружности с центром Q. Точка А 2 находится на этой окружности, поскольку Ð А 1 А 2 А 3 = 90°. Так же устанавливаем, что В 2 находится на окружности с диаметром В 1 В 3, а С 2 – на окружности с диаметром С 1 С 3, т.е. на одной и той же окружности. Центр Q этой окружности находится на серединном перпендикуляре к хорде А 1 А 2, который делит пополам отрезок ОН, где О – центр описанной около треугольника АВС окружности. Действительно, А 1 О ^ ВС, А 2 Н ^ ВС, поэтому перпендикуляр к А 1 А 2 делит пополам отрезок ОН, будучи параллельным А 1 О и А 2 Н. Так же серединный перпендикуляр к хорде В 1 В 2 содержит центр Q окружности и проходит через середину отрезка ОН. Значит, Q – середина ОН. Окружность, которая проходит через середины сторон треугольника, основания его высот и делит пополам отрезки от вершин до ортоцентра, называется окружностью девяти точек, или окружностью Эйлера.
Следствие 1. Диаметр окружности Эйлера равен радиусу описанной около треугольника окружности. Действительно, окружность Эйлера можно рассматривать, как окружность, описанную около треугольника А 1 В 1 С 1 из средних линий (рис. 58). Поскольку треугольник АВС подобен треугольнику А 1 В 1 С 1 с коэффициентом подобия 2, то радиус описанной около треугольника АВС окружности вдвое больше радиуса окружности, описанной около треугольника А 1 В 1 С 1, значит он равен диаметру окружности девяти точек. Теорема 4 (Гамильтона). Если Н – ортоцентр треугольника АВС, то треугольники АВС, АВН, ВСН, АСН имеют общую окружность девяти точек. Доказательство. Пусть в треугольнике АВС: Н – ортоцентр, А 1, В 1, С 1– середины сторон, А 2, В 2, С 2 – основания высот, А 3, В 3, С 3 – точки Эйлера (середины отрезков,
Следствие 2. Радиусы окружностей, описанных около треугольников АВС, АВН, ВСН, АСН, равны. Действительно, каждый из названных радиусов равен диаметру окружности Эйлера (следствие 1), а поэтому они равны между собой.
Теорема 5 (Файербаха). Окружность девяти точек касается вписанной окружности и трёх вневписанных окружностей.
Чтобы доказать касание вписанной окружности и окружности Эйлера, достаточно доказать, что расстояние между их центрами L и Q равна разности радиуса RQ окружности Эйлера и rL вписанной окружности. Из точки Q опустим перпендикуляр ОR на LХ, LХ ^ АВ. Из треугольника QRL найдем QL 2 = QR 2 + RL 2. Поскольку QR = А 1 Х – А 1 Т и RL = QТ – LХ, то QL 2 = (А 1 Х – А 1 Т)2 + (QТ – LХ)2. Докажем, что QТ = Точки А 1, А 3 принадлежат окружности Эйлера, А 1 А 3 – диаметр этой окружности, ОА – радиус описанной окружности. По следствию 1: А 1 А 3 = ОА. Поскольку ОА 1 ||АА 3, то А 1 А 3 АО – параллелограмм. Значит, ОА 1 = АА 3, и ОК = А 2 А 3. Поскольку А 2 и А 3 принадлежат окружности Эйлера, то QА 2 А 3 – равнобедренный треугольник. Значит, QТ = Поэтому QL 2 = (А 1 Х – = А 1 Х 2 + = = = ( = ( Теперь докажем, что А 1 Х ХА 2 = KD LX. Имеем D АКD KD LX = А 1 А 2 ХF (1). Остается доказать, что А 1 А 2 ХF = А 1 Х ХА 2. Имеем D EFC Треугольник LEС – равнобедренный: Ð LCЕ = Ð ELC = Поэтому Вычитая компоненты этого равенства от А 1 А 2 А 1 Х, получим: А 1 А 2 А 1 Х – А 1 F А 1 А 2 = А 1 А 2 А 1 Х – А 1 Х 2 или А 1 А 2 (А 1 Х – А 1 F) =А 1 Х (А 1 А 2 – А 1 Х) или А 1 А 2 (А 1 Х – А 1 F) = А 1 Х ХА 2 или А 1 А 2 ХF = А 1 Х ХА 2. Тогда KD LX = А 1 Х ХА 2 = А 1 А 2 ХF. Теперь равенство (1) можно записать так KD LX = А 1 Х ХА 2. Поэтому QL 2 = ( = (
Теорема 6. Произведение двух сторон треугольника равно произведению диаметра описанного круга на высоту, проведенную к третьей стороне.
Поскольку LC = LС 1, то прямоугольные треугольники АНС и АВС 1 подобны. Поэтому
Следствие 3. Радиус описанного около треугольника круга равен произведению двух его сторон, поделенному на удвоенную высоту, проведенную к третьей стороне: R =
Date: 2015-05-05; view: 1518; Нарушение авторских прав |