Теорема Фалеса

Теорема Фалеса является основанием для теории подобия фигур.

Теорема Фалеса: Если две прямые а и а₁ пересечены рядом параллельных прямых и на прямой а при этом отсекаются равные отрезки, то и на прямой а₁ отсекаются так же равные отрезки (рис. 27).

Доказательство. Пусть на прямой а параллельные прямые АА₁, ВВ₁, СС₁, DD₁ отсекают равные отрезки АВ и CD. Докажем, что отрезки А₁В₁ и С₁D₁ отсечённые этими прямыми на прямой а₁, так же равны.

Проведём ВМ || а₁, DN || a₁ и рассмотрим

треугольники АВМ и СDN.

У них: 1) АВ = СD по условию;

2) Ð ВАМ = Ð DCM, как соответствующие

углы при пересечении параллельных прямых АА₁и СС₁ секущей АС;

3) Ð АВМ = Ð CDN, как соответствующие углы при пересечении параллельных прямых

ВМ и DN секущей BD.

Значит, Δ АВМ = Δ CDN и поэтому DN = ВМ. А поскольку DD₁C₁N и BB₁A₁M – параллелограммы, то С₁D₁ = DN, А₁В₁ = ВМ и, значит, А₁В₁ = С₁D₁.

Теорему Фалеса можно легко обобщить на тот случай, если отрезки АВ и СD на прямой а соизмеримы, например, если АВ : СD = m : n, m, n N.

На рисунке 28 показаны дополнительные построения для доказательства того, что если АВ : СD = 3 : 5, то А₁В₁ : С₁D₁ = 3: 5.

АВ¢ : СD = m_n : n, АВ² : СD = (m_n + 1):n.

Тогда А₁B : СD = m_n : n и А₁B : С₁D₁ = (m_n + 1): n и В Î [B B ]. Поэтому если последовательность сходится к иррациональному числу, то АВ : СD = a : 1 и А₁В₁ : С₁D₁ = a : 1 (рис. 29).

Следствие 2. Если прямая делит две стороны треугольника на пропорциональные части, то она параллельна третьей стороне.

Действительно, если провести PQ₁ ║ ВС (рис.30), то АВ : АВ = АQ₁ : АС, а по условию АР : АВ = АQ : АС, значит АQ = АQ₁ и Q = Q₁.

Теорема 1 (о биссектрисе). В каждом треугольнике биссектриса любого угла делит противолежащую сторону на части пропорционально прилегающим сторонам.

Доказательство. Пусть AL – биссектриса угла А треугольника АВС. Докажем, что ВL : LС = АВ : АС. Проведём СС₁ ║ АL (рис. 31). Тогда ВL : LС = ВА : АС₁. Ð ВАL = Ð ВС₁С как соответствующие углы при параллельных прямых AL и СС₁ и секущей ВС₁; Ð АСС₁ = Ð САL как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AL и СС₁ и секущей АС.

Значит, Δ АСС₁ – равнобедренный: АС = АС_1.

Поэтому ВL : LС = ВА : АС = АВ : АС.

Следствие 3. Если прамая, выходящая из вершины треугольника, пересекает противолежащую сторону и делит её на части, пропорциональные прилежащим сторонам, то она является биссектрисой угла треугольника.

Теорема 2. В каждом треугольнике биссектриса внешнего угла делит противолежащую сторону внешним образом на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

Доказательство. Пусть АL – биссектриса внешнего угла А треугольника АВС. Докажем, что ВL : СL = АВ : АС.

Проведем СС₁║АL. Тогда ВL : СL = ВА : С₁А. Кроме того, Δ АСС₁ – равнобедренный: Ð АСС₁ = Ð САL как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AL и СС₁ и секущей АС; Ð АС₁С = Ð А₁АL, как соответствующие углы при параллельных прямых АL и С₁С и секущей АС₁. Поэтому АС₁ = АС и

ВL : СL = АВ : АС.

Следствие 4. Если прямая, выходящая из вершины треугольника, пересекает продолжение противоположной стороны и делит её на части, пропорциональные прилежащим сторонам, то эта прямая содержит биссектрису внешнего угла треугольника.

Доказательство.Поскольку есть только одна точка, которая делит внешним образом сторону ВС на части, пропорциональные прилежащим сторонам, то эта точка совпадает с основанием биссектрисы внешнего угла треугольника.

Теорема 3. Геометрическое место точек, расстояния которых до двух данных точек находятся между собой в данном отношении, отличным от 1, есть окружность.

Доказательство. Пусть А и В – данные точки. Нужно найти ГМТ М таких, что АМ : МВ = k, k ¹ 1 (рис. 33). Есть одна точка С, которая делит отрезок АВ в отношении k внутренним образом и одна точка D, которая делит этот отрезок в этом отношении внешним образом. Пусть М – произвольная точка искомого ГМТ. Тогда

АМ : МВ = k = АС : СВ и АМ : МВ = АD : ВD.

Поэтому МС и МD – биссектрисы внутреннего и внешнего углов М треугольника АМВ. Поскольку биссектрисы смежных углов перпендикулярны, то Ð СМD = 90° и точка М принадлежит окружности с диаметром СD.

Пусть теперь М – произвольная точка окружности с диаметром CD. Проведём МА₁ так, что Ð СМВ = Ð СМА₁ (рис. 34). Тогда МС – биссектриса угла А₁МВ треугольника А₁МВ. МD – биссектриса внешнего угла с вершиной М этого треугольникатак как Ð СМD = 90°.

По теоремам 1, 2

А М : МВ = А С : СВ и А М : МВ = А D : ВD.

Поэтому А С : СВ = А D : ВD, или ВD : СВ = А D : А С. А поскольку

АС : СВ = k и АD : DВ = k, то АС : СВ = АD : DВ, или ВD : СВ = АD : АС.

Значит, А D : А С = АD : АС. Это равенство означает, что точки А и А делят отрезок СD в одном и том же отношении, причем внешним образом. Значит, точка А совпадает с точкой А. Поэтому АМ : МВ = АС : СD = k, т.е. точка М принадлежит искомому ГМТ.

Теорема 4.Прямые, проходящие через одну точку и пересекающие параллельные прямые, отсекают на них пропорциональные отрезки.

Доказательство.Пусть АС || А С и прямые АА , ВВ , СС проходят через точку S (рис. 35).

Докажем, что АВ : А В = ВС : В С .

Из подобия ΔАSB ΔA SB имеем . Из подобия ΔВSС ΔВ SС имеем . Значит, .

Теорема 5. Если прямые АА , ВВ , СС при пересечении с параллельными прямыми АВ и А В образуют пропорциональные отрезки

(АВ : А В = АС : А С = ВС : В С ), то прямые АА , ВВ , СС или параллельны, или проходят через одну точку.

Доказательство. Из трёх прямых или никакие две не пересекаются (и тогда они параллельны), или какие-нибудь пересекаются, и третья прямая так же проходит через их точку пересечения.

Пусть прямые АА и ВВ пересекаются в точке S (рис. 36). Проведем прямую СS. Пусть С – точка пересечения прямой СS с прямой А В . Тогда по теореме 4: А С : С В = АС : СВ. Но по условию:

СВ = А С : С В . Поэтому

А С = С В = А С : С В . Поскольку точки С и С делят отрезок А В в одном и том же отношении или внешним, или внутренним образом, то точки С и С совпадают и прямая SС совпадает с прямой СС .