Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как противостоять манипуляциям мужчин? Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Теорема Фалеса





 

Теорема Фалеса является основанием для теории подобия фигур.

Теорема Фалеса: Если две прямые а и а1 пересечены рядом параллельных прямых и на прямой а при этом отсекаются равные отрезки, то и на прямой а1 отсекаются так же равные отрезки (рис. 27).

Доказательство. Пусть на прямой а параллельные прямые АА1, ВВ1, СС1, DD1 отсекают равные отрезки АВ и CD. Докажем, что отрезки А1В1 и С1D1 отсечённые этими прямыми на прямой а1, так же равны.

Проведём ВМ || а1, DN || a1 и рассмотрим

треугольники АВМ и СDN.

У них: 1) АВ = СD по условию;

2) Ð ВАМ = Ð DCM, как соответствующие

углы при пересечении параллельных прямых АА1и СС1 секущей АС;

3) Ð АВМ = Ð CDN, как соответствующие углы при пересечении параллельных прямых

ВМ и DN секущей BD.

Значит, Δ АВМ = Δ CDN и поэтому DN = ВМ. А поскольку DD1C1N и BB1A1M – параллелограммы, то С1D1 = DN, А1В1 = ВМ и, значит, А1В1 = С1D1.

Теорему Фалеса можно легко обобщить на тот случай, если отрезки АВ и СD на прямой а соизмеримы, например, если АВ : СD = m : n, m, n N.

На рисунке 28 показаны дополнительные построения для доказательства того, что если АВ : СD = 3 : 5, то А1В1 : С1D1 = 3: 5.

 
 

Если отрезки АВ и СD не соизмеримы, то для каждого натурального n существуют такие точки и , что В принадлежит отрезку B¢B² и

АВ¢ : СD = mn : n, АВ² : СD = (mn + 1):n.

Тогда А1B : СD = mn : n и А1B : С1D1 = (mn + 1): n и В Î [B B ]. Поэтому если последовательность сходится к иррациональному числу, то АВ : СD = a : 1 и А1В1 : С1D1 = a : 1 (рис. 29).

 

 
 

Следствие 1. Прямая PQ, параллельная одной из сторон треугольника, делит две другие стороны на пропорциональные части (рис. 30).

Следствие 2. Если прямая делит две стороны треугольника на пропорциональные части, то она параллельна третьей стороне.

Действительно, если провести PQ1 ВС (рис.30), то АВ : АВ = АQ1 : АС, а по условию АР : АВ = АQ : АС, значит АQ = АQ1 и Q = Q1.



Теорема 1 (о биссектрисе). В каждом треугольнике биссектриса любого угла делит противолежащую сторону на части пропорционально прилегающим сторонам.

Доказательство. Пусть AL – биссектриса угла А треугольника АВС. Докажем, что ВL : LС = АВ : АС. Проведём СС1 АL (рис. 31). Тогда ВL : LС = ВА : АС1. Ð ВАL = Ð ВС1С как соответствующие углы при параллельных прямых AL и СС1 и секущей ВС1; Ð АСС1 = Ð САL как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AL и СС1 и секущей АС.

Значит, Δ АСС1 равнобедренный: АС = АС1.

Поэтому ВL : LС = ВА : АС = АВ : АС.

Следствие 3. Если прамая, выходящая из вершины треугольника, пересекает противолежащую сторону и делит её на части, пропорциональные прилежащим сторонам, то она является биссектрисой угла треугольника.

 

Теорема 2. В каждом треугольнике биссектриса внешнего угла делит противолежащую сторону внешним образом на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

Доказательство. Пусть АL – биссектриса внешнего угла А треугольника АВС. Докажем, что ВL : СL = АВ : АС.

Проведем СС1АL. Тогда ВL : СL = ВА : С1А. Кроме того, Δ АСС1 равнобедренный: Ð АСС1 = Ð САL как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AL и СС1 и секущей АС; Ð АС1С = Ð А1АL, как соответствующие углы при параллельных прямых АL и С1С и секущей АС1. Поэтому АС1 = АС и

ВL : СL = АВ : АС.

Следствие 4. Если прямая, выходящая из вершины треугольника, пересекает продолжение противоположной стороны и делит её на части, пропорциональные прилежащим сторонам, то эта прямая содержит биссектрису внешнего угла треугольника.

Доказательство.Поскольку есть только одна точка, которая делит внешним образом сторону ВС на части, пропорциональные прилежащим сторонам, то эта точка совпадает с основанием биссектрисы внешнего угла треугольника.

Теорема 3. Геометрическое место точек, расстояния которых до двух данных точек находятся между собой в данном отношении, отличным от 1, есть окружность.

Доказательство. Пусть А и В – данные точки. Нужно найти ГМТ М таких, что АМ : МВ = k, k ¹ 1 (рис. 33). Есть одна точка С, которая делит отрезок АВ в отношении k внутренним образом и одна точка D, которая делит этот отрезок в этом отношении внешним образом. Пусть М – произвольная точка искомого ГМТ. Тогда

АМ : МВ = k = АС : СВ и АМ : МВ = АD : ВD.

Поэтому МС и МD – биссектрисы внутреннего и внешнего углов М треугольника АМВ. Поскольку биссектрисы смежных углов перпендикулярны, то Ð СМD = 90° и точка М принадлежит окружности с диаметром СD.

Пусть теперь М – произвольная точка окружности с диаметром CD. Проведём МА1 так, что Ð СМВ = Ð СМА1 (рис. 34). Тогда МС – биссектриса угла А1МВ треугольника А1МВ. МD – биссектриса внешнего угла с вершиной М этого треугольникатак как Ð СМD = 90°.

По теоремам 1, 2

А М : МВ = А С : СВ и А М : МВ = А D : ВD.



Поэтому А С : СВ = А D : ВD, или ВD : СВ = А D : А С. А поскольку

АС : СВ = k и АD : DВ = k, то АС : СВ = АD : DВ, или ВD : СВ = АD : АС.

Значит, А D : А С = АD : АС. Это равенство означает, что точки А и А делят отрезок СD в одном и том же отношении, причем внешним образом. Значит, точка А совпадает с точкой А. Поэтому АМ : МВ = АС : СD = k, т.е. точка М принадлежит искомому ГМТ.

 

Теорема 4.Прямые, проходящие через одну точку и пересекающие параллельные прямые, отсекают на них пропорциональные отрезки.

Доказательство.Пусть АС || А С и прямые АА , ВВ , СС проходят через точку S (рис. 35).

Докажем, что АВ : А В = ВС : В С .

Из подобия ΔАSB ΔA SB имеем . Из подобия ΔВSС ΔВ имеем . Значит, .

Теорема 5. Если прямые АА , ВВ , СС при пересечении с параллельными прямыми АВ и А В образуют пропорциональные отрезки

(АВ : А В = АС : А С = ВС : В С ), то прямые АА , ВВ , СС или параллельны, или проходят через одну точку.

Доказательство. Из трёх прямых или никакие две не пересекаются (и тогда они параллельны), или какие-нибудь пересекаются, и третья прямая так же проходит через их точку пересечения.

Пусть прямые АА и ВВ пересекаются в точке S (рис. 36). Проведем прямую СS. Пусть С – точка пересечения прямой СS с прямой А В . Тогда по теореме 4: А С : С В = АС : СВ. Но по условию:

СВ = А С : С В . Поэтому

А С = С В = А С : С В . Поскольку точки С и С делят отрезок А В в одном и том же отношении или внешним, или внутренним образом, то точки С и С совпадают и прямая совпадает с прямой СС .






Date: 2015-05-05; view: 401; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2018 year. (0.007 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию