Главная Случайная страница



Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника







Площадь





Площадь – одна из характеристик геометрической фигуры. Она выражается через параметры, определяющие эту фигуру. Очевидно, что формула, по которой определяется площадь фигуры, зависит от вида фигуры и от параметров, её определяющих. Например, для площади треугольника наиболее используемыми являются формулы формулы

S = ah, S = ab sin C, S = , S = pr, S = 2 R2 sinAsinBsinC.

Задача 1. В равнобедренном треугольнике основание равно 40, высота, проведённая к ней – 15. Найти высоту, проведённую к боковой стороне.

Решение. Поскольку высота ВD в равнобедренном треугольнике АВС, проведённая к основанию АС, является медианой, то АD = АС = 20.

Поэтому АВ = = 25.

Площадь треугольника АВС можно выразить формулами

S = bhb и S = chc, откуда bhc = chc, и

hc = = 24.

В задаче 1 нужный параметр фигуры был найденчерез промежуточное использование площади. Этот приём, который называют методом площадей, был использован Пифагором (§ 4).

 

Задача 2. Найти длину биссектрисы угла треугольника, если визвесты этот угол и стороны, его образующие.

Решение. пусть CL – биссектриса угла С треугольника АВС (рис. 79), СА = b, СВ =а, СL = lс. Поскольку СL разбивает треугольник АВС на два треугольника АСL и ВСL, то с учётом адитивности площади будем иметь:

SАВС = SАВС + SАВС , или absin C = blc sin + alc sin , или 2 ab sin cos = lc (a + b) sin , или lc = cos .

 

Теорема 1. Для любого описанного около окружности многоугольника справедливо равенство S = pr, дзе S – площадь многоугольника, р – его полупериметр, r – радиус вписанного круга.

Доказательство. Если многоугольник А1А2А3Аn описан около окружности с центром О, то отрезки ОА1, ОА2, … ОАn делят его на n треугольников А1ОА2, А2ОА3, …, АnOA1, основаниями которых являются стороны многоугольника, а высотами – радиусы, проведённые в точки касания. Поэтому

+ + … + = А1А2 r + А2А3 r + …+ АnА1 r =

= (А1А2 + А2А3 + + … АnА1) r = p r.

 

Теорема 2. Для любого треугольника его площад равна произведению радиусаыуса окружности на полупериметр, уменьшенному на сотору, которой касается эта окружность: S = ra (pa).



Доказательство. Пусть окружность Оа является вневписанной в треугольник АВС (рис. 81) ОаК, ОаМ, ОаN – радиусы, проведенные в точки касания.

Тогда

= = + =

= АВ ra + АВ ra АВra = ra (AB + ACBC) =

= ra (AB + AC +BC – 2 BC) = ra ( BC) = ra (pa).

 

Следствие 1. Отрезок касательной от вершины треугольника до противолежащего вневписанного круга равен полупериметру треугольника.

Доказательство.Пусть А1, А2, А3 – точки касания вневписанной окружности со стороной ВС треугольника АВС и продолжений двух других его сторон (рис. 82). Тогда

АА2 = АВ + ВА2 = АВ + ВА1 = с + ВА1, АА3 = АС + СА3 = = АС + СА1 = b + СА1. Поскольку АА2 = АА3, то

2 АА2 = b + c + BA1 + CA1 = b + c + BC = a + b + c, откуда АА2 = = р.

 

Следствие 2. Радиусы вневписанных и вписанной окружности в треугольник связаны равенством .

Действительно, по теореме 2: , , .

Тогда .

 

Следствие 2. .

Действительно, .

 

Теорема 3. ГМТ М, для которых площади треугольников МАВ и МАС равны, где А, В, С – данные точки, есть объединение двух прямых, из которых одна проходит через А параллельно ВС, а другая содержит медиану АК треугольника АВС.

Доказательство. Пусть точка М1 принадлежит прямой М1, проходящей через А параллельно ВС (рис. 83). Тогда = М1А hb = М1А hc = .

Пусть точка М2 принадлежит медиане АК треугольника АВС. Тогда SABK = ВК hа = СК hа = SACK, = ВК = = СК = . Значит, = SABK = SACK = .

Аналогично сравниваются площади треугольников МАВ и МАС, если точка М расположена на луче АК за точкой А и на луче АК за точкой К.

Пусть теперь точка N не принадлежит ни одной из названных прямых l и АК. Тогда точка N может находиться:

1) в полосе между прямыми l и ВС, включая прямую ВС;

2) ниже прямой ВС (точки N и В) лежат по разные стороны от ВС;

3) выше прямой l (точки N и В) лежат по разные стороны от прямой l.

Пусть точка N лежит в полосе между l и ВС внутри треугольника АВС (рис. 84). Тогда один из отрезков СN или ВN, пусть ВN, пересекает медиану АК в точке N1.

Поскольку = и D N1АВ – часть D NАВ, D NАС – часть D N1АС, то SNAB > = > SNAC.

Значит, ни одна из внутренних точек треугольника АВС, кроме точек медианы АК не принадлежит искомому ГМТ.

Пусть теперь точка N так же находится в полосе между l и АС, но вне треугольника АВС (рис. 85). Тогда или отрезок пересекает АВ, или отрезок пересекает АС. Пусть пересекает АВ в точке Р.

Если в сравниваемых треугольниках NАВ и NАС общую часть – треугольник NАР заменить на треугольник РВС, то соотношения между площадьми исходных треугольников NАВ и NАС и полученных треугольников NВС и АВС будут одинаковыми.

Поскольку SNВС.= ВС hN < ВС hA = SАВС, то SNAB < SNAC. Значит, точка N не принадлежит искомому ГМТ.

Пусть точка N опять находится в полосе между l и АВ, N ¹ К, и точка N принадлежит ВС, или одному из отрезков АВ или АС. Тогда очевидно, что SNAB ¹ SNAC.



Пусть точка N лежит ниже прямой ВС, причем отрезок АN пересекает отрезок ВС в точке R (рис. 86). Поскольку > , то SABR = ВR hA > CR hA = SАСR ,

SNBR.= ВRhN > CR hN = SNСR .

Значит, SNAB = SABR.+ SNBR.> SАСR + SNСR = SNAC.

Если точка R совпадает с В или S, то, очевидно, что SNAB = SNAC. Значит, такая точка N не принадлежит искомому ГМТ.

Пусть N лежит ниже прямой ВС и отрезок АN не пересекает отрезок ВС. Пусть точка пересечения отрезка АN с прямой ВС принадлежит лучу ВС (рис. 87). В этом случае треугольник NАС является частью треугольника NАВ, поэтому SNAB > SNAC. Значит, такие точки N искомому ГМТ не принадлежат.

Пусть теперь точка N лежит выше прямой l, причем пересекает АВ или . Пусть пересекает АВ в точке Q (рис. 88). В этом случае, как и для рис. 85, получим

SNABSNAC = SNQBSAQC = SNBCSABC =

= ВC hN ВC hA = ВC (hN – hA) > 0.

Поэтому все такие точки искомому ГМТ не принадлежат.

Пусть точка N лежит выше прямой l и отрезки и АС, а так же и АВ не имеют общих точек (рис. 89). Пусть прямая пересекает ВС в точке Т, отличной от К. Тогда ВТ > СТ. Имеем SNAB = NA hB > NA hC = SNAC, поскольку в подобных прямоугольных треугольниках ВВ1Т и СС1Т ВТ > СТ, а значит, ВВ1 = hB > hC = СС1. Поэтому все такие точки искомому ГМТ не принадлежат.

Таким образом, для каждой точки М, принадлежащей прямой l или прямой ВК, площади треугольников МАВ и МАС равны, а если точка N не принадлежит этим прямым, то площади треугольников NАВ т NАС разные.

 

Теорема 4. Для каждого треугольника радиус R описанной около него окружности и радиусы r вписанной и rа, rb, rc вневписанных окружностей связаны павенством 4R = rа + rb + rc – r.

Доказательство. С учётом теорем 1 и 2 получим

= = =

= (((a+b)2c)2) + (c2 – (ab)2) = 4ab = 4 = 4R.

 

Теорема 5. Произведение радиусов вписанной и вневписанных окружностей в треугольник равно квадрату его площади.

Имеем r rа rb rc = = = S2.

 

Теорема 6. Площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними: S = d1d2 sin j.

Доказательство. Пусть d1 и d2 – диагонали четырёхугольника АВСD и j – угол между нимиі (рис. 90). Тогда

SABCD = SABC + SADC = AC hB + AC hD =

= AC (hB + hD) = AC (BQ sin j + DQ sin j) =

= AC (BQ + DQ) sin j = = AB BD sin j.

 

Теорема 7. Если в двух треугольниках по две стороны размещены на пересекающихся прямых, то их площади относятся как произведения этих сторон треугольников.

Доказательство. Пусть по две стороны в треугольниках АМN и АРQ лежат на прямых АМ и АN, например, как на рис. 91.

Тогда , поскольку

sin PAQ = sin (180° – MAN) = sin MAN.

Доказательство остаётся в силе и при других возможных размещениях треугольников.

 

Теорема 8 (Чевы). Для того, чтобы прямые АА1, ВВ1, СС1, где А1, В1, С1 – точки соответственно на сторонах ВС, АС, АВ треугольника АВС, пересекались в одной точке необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство. Пусть отрезки АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в точке Q (рис. 92). Тогда треугольник АВС делится на 6 треугольных частей. Поскольку к треугольным частям, прилегающим к одной стороне треугольника АВС, можно применить теорему 6, то

; ; .

Поэтому .

Последний переход от отношений площадей к отношению произведений сделан на основании теоремы 6.

Пусть теперь точки А1, В1, С1 выбраны на сторонах ВС, АС, АВ треугольника АВС так, что выполняется равенство .

Пусть Q – точка пересечения отрезков АА1 и ВВ1, и С2 – точка пересечения луча СQ с отрезком АВ (рис. 93).

Тогда, по доказанному ранее . С учётом условия получим: , откуда .

Полученное равенство показывает, что точки С1 иі С2 делят отрезок АВ в одном и том же отношении. Поэтому они совпадают и СС1 проходит через точку Q.

 

Следствие 2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 3. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

По теореме о биссектрисе имеем ; ; .

Тогда = = 1.

По теореме Чевы биссектрисы АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке.

 

Следствие 4. Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Имеем

АС1 = АС cos A, C1B = BC cos B, BA1 = AB cos B,

A1C = AC cos C, CB1 = BC cos C, B1A = AB cos A.

Поэтому = = 1.

 

Следствие 5. Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанного в него круга, пересекаются в одной точке, которая называется точкой Жергона.

Поскольку касательные к кругу, проведенные из одной точки, равны, то (рис.94)

АС1 = B1A, C1B = BA1, A1C = CB1.

Поэтому = = 1.

Следствие 6. Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания вневписанных в него окружностей, пересекаются в одной точке, которая называется точкой Нагеля.

 
 

Имеем ВА1 = ВР = АР – АВ = р с (рис. 95), поскольку АР = р (следствие 13.1). Аналогично, А1С = р – b, СВ1 = р – а, В1А = р – с, АС1 = р – b, С1В = ра. Поэтому = = 1.

Прямые, проходящие через вершины треугольника и пересекающиеся в одной точке, называются прямыми Чевы или чевианами.

 

Следствие 7. Чевианы, проходящие через точку Нагеля, делят периметр треугольника пополам.

Действительно,

АВ + ВА1 = с + (р – с) = р, ВС + СВ1 = а + (р – а) = р, СА + АС1 = b + (р – b) = р.

 

Следствие 8. Прямые, выходящие из вершин треугольника и делящие противолежащие стороны пропорционально прилежащим углам, являются чевианами.

Имеем ; ; .

Поэтому = = 1.

 

Следствие 9. Отрезки, соединяющие середины сторон треугольника с серединами прямых Чевы, проведённых из противолежащих вершин, являются чевианами.

Пусть АА1, ВВ1, СС1 – чевианы треугольника АВС, А2, В2, С2 – середины сторон ВС, АС, АВ, А3, В3, С3 – середины чевиан АА1, ВВ1, СС1. А2А3 – отрезок, соединяющий середину стороны ВС и середину чевианы из вершины А, В2В3 – отрезок, соединяющий середину стороны АС середину чевианы из вершины В, С2С3 – отрезок, соединяющий середину стороны АВ середину чевианы из вершины С (рис.97).

По теореме Чевы получим = 1, откуда = 1, или = 1.

Отрезки В2В3, С2С3, А2А3, выходящие из вершин треугольника А2В2С2, из-за последнего равенства удовлетворяют теореме Чевы, и поэтому пересекаются в одной точке.

 

Следствие 10 (Теорема Шлёмильха). Отрезки, соединяющие середины сторон треугольника с серединами его высот, являются чевианами.

Легко заметить, что справедливым является утверждение, обратное следствию 9:

Если в треугольнике А2В2С2, образованном средними линиями треугольника АВС, проведены чевианы А2А3, В2В3, С2С3, то прямые АА3, ВВ3, СС3, являются чевианами треугольника АВС.

 

Задача 3. Доказать, что площадь любого треугольника выражается формулой

S = ,

где а – сторона треугольника, rb и rc – радиусы вневписанных окружностей, которые касаются сторон b и c соответственно.

Решение. Поскольку rb = , rс = , то = =

= = = = = S.

 








Date: 2015-05-05; view: 978; Нарушение авторских прав



mydocx.ru - 2015-2021 year. (0.038 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию