Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Теорема Пифагора





 

4.1. Теорема Пифагора – наверное самый известный факт геометрии. Она имеет богатую историю и сегодня известно более 360 ее доказательств, одно из которых приведем (рис. 9). Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой с.

Чтобы доказать, что а 2 + b 2 = c 2, построим два квадрата со стороной a + b.

Первый квадрат разобьем на два квадрата с площадями а 2 и b 2 и 4 прямоугольных треугольника, равных данному, другой – на четыре такие же треугольника и квадрат со стороной с.

Если от равных квадратов АВСD и А 1 В 1 С 1 D 1 отбросить по четыре равных треугольника, то оставшиеся фигуры будут иметь одинаковые площади. Поэтому

а 2 + b 2 = c 2.

Теорема 1. В прямоугольном треугольнике каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу:

= , = .

Доказательство. Из подобия ∆АВС ~ ∆АСН и

∆АВС ~ ∆СВН получим необходимые пропорции.

 

Следствие 1. Хорда круга есть среднее пропорциональное между диаметром и её проекцией на диаметр, проходящий через один из концов хорды.

Действительно, ÐACВ = 90° (рис. 11). Поэтому к треугольнику АВС можно применить теорему 1.

 

Теорема 2. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу: = (рис. 10).

Для доказательства достаточно заметить подобие треугольников АСН и СВН.

Следствие 2. В круге перпендикуляр, опущенный из какой-нибудь точки окружности на диаметр, есть среднее геометрическое между отрезками, на которые он делит диаметр: СН = (рис. 11).

 

Теорема 3. Разность квадратов двух сторон треугольника равна разности квадратов их проекций на третью сторону треугольника:

АС 2 – АВ 2 = НС 2 – НВ 2 (рис. 12).

Доказательство. По теореме Пифагора, применённой к треугольникам АСН и АВН будем иметь:

АС 2 = НС 2 + АН 2, АВ 2 = НВ 2 + АН 2 ,

Откуда АС 2 – АВ 2 = НС 2 – НВ 2.

Следствие 3. Геометрическое место точек (ГМТ), разность квадратов расстояний которых до двух данных точек А и В постоянна, есть перпендикуляр к прямой АВ.

Действительно, пусть точки М и N такие, что МА 2 – МВ 2 = k и NA 2 – NB 2 = k. Спроектируем точку М на прямую АВ, получим точку О. Тогда АО 2 – ВО 2 = k. Если спроектировать точку N на прямую АВ, то для её проекции О 1 будем иметь

АО – ВО = k. Значит, О 1 = О.

Пусть теперь точка Р лежит на перпендикуляре ОМ, тогда для неё АО 2 –ВО 2 =k.

Теорема 4. Медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена тогда и только тогда, когда она выходит из вершины прямого угла.

Доказательство. Необходимость. Пусть медиана СМ (рис. 13) в треугольнике АВС равна АВ, т.е. МА = МВ = МС.

Тогда Ð МСА = Ð А, Ð МСВ =Ð В,

Ð А + Ð В + Ð АСВ = 180º,

Ð А + Ð В = 90º, Ð МСА + Ð МСВ = 90º.

Достаточность. Пусть в прямоугольном треугольнике АВС, Ð С = 90º, проведена медиана СМ (рис. 14). Продолжим медиану СМ за точку М так, что МС 1 = МС. Четырёхугольник АСВС 1 – параллелограмм, причём Ð С = 90º, значит четырёхугольник АСВС 1 – прямоугольник. Поэтому АВ = СС 1 и МА = МВ = МС.

 

Следствие 4. Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности находится на середине гипотенузы, а радиус окружности равен половине гипотенузы.

 

Задача 3. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины С прямого угла проведена высота СН. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники АСН и ВСН равны r 1 и r 2. Найти радиус r окружности, вписанной в треугольник АВС.

Решение. Из подобия треугольников ВАС, ВСН, САН можно записать . Тогда для определенного числа t: AB = rt, AC = r 1 t, BC = r 2 t.

А поскольку AB 2 = AC 2 +BC 2, то r 2 t 2 = r t 2 + r t 2, и

r 2 = r + r .

Заметим, что подобные отношения существуют между другими сходными линейными элементами d, d 1 и d 2 треугольников АВС, АСН и ВСН: d 2 = d + d , (например для расстояний от точки пересечения медиан до центров вписанных окружностей).

Этот факт называют обобщённой теоремой Пифагора.

Date: 2015-05-05; view: 982; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.006 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию