Четырёхугольник

В школьном курсе геометрии изучаются только отдельные виды четырёхугольников.

Теорема 1 (Вариньона). Середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма, стороны которого параллельны диагоналям четырёхугольника и равны их половинам.

Доказательство. Пусть M, N, P, Q – середины сторон четырёхугольника АВСD (рис. 66). Поскольку MN и PQ – средние линии треугольников АВD и СВD, то MN || BD || PQ, MN = BD = PQ.

Аналогично получим, что

NP || АС || MQ, NP = АС = MQ.

Теорема 2. Около четырёхугольника, образованного биссектрисами углов данного выпуклого четырёхугольника, можно описать окружность.

Доказательство. Пусть биссектрисы AQ, DQ, BS и CS

четырёхугольника АВСD образуют четырёхугольник

PQRS (рис. 67).

Докажем, что Ð Q + Ð S = 180°. Действительно,

Ð Q + Ð S = 180° – (Ð QAD + Ð QDA) + 180° –

– (Ð SBC + Ð SCB) = 360° – (Ð BAD + Ð CDA +

+Ð ABC + Ð DCB) = 360° – 360° = 180°.

Теорема 3 (Бретшнайдера). Квадрат произведения диагоналей четырехугольника равен сумме квадратов произведений его противолежащих сторон без удвоенного произведения всех его сторон на косинус суммы двух противолежащих углов.

Доказательство. Пусть a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника АВСD (рис. 68), m и n – его диагонали. Построим точки М и К так, чтобы

Ð ADМ = Ð BAС, Ð DАМ = Ð BСА, а Ð КАВ = Ð AСD, Ð КВА = Ð САD и Ð КАМ = Ð BAD + Ð BСD.

Тогда D АDМ D САВ, D АКВ D СDA.

Значит, , , , .

Тогда АК = , АМ = ;

КВ = = DМ.

Поскольку Ð КBD + Ð BDМ = (Ð КВА + Ð АBD) +

+ (Ð BDА + Ð ADМ) = (Ð АBD + Ð BDА) + (Ð КВА+

+ Ð ADМ) = (Ð АBD + Ð BDА) +(Ð DАС + Ð САВ) =

= Ð АBD + Ð BDА + Ð BAD = 180°, то ВК || DМ и четырехугольник ВDМК параллелограмм.

Поэтому КМ = ВD = n. По теореме косинусовприменённой к треугольнику АКМ, получим

КМ ² = АК ² + АМ ² – 2 Ак АМ cos Ð KAM, или

n ² = + – 2 + cos (Ð A + Ð C), или

m ² n ² = a ² c ² + b ² d ² – 2 abcd cos (Ð A + Ð C).

Теорема 4 (Птолемея). Произведение диагоналей вписанного в круг четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство. Пусть четырёхугольник АВ С D вписан в окружность (рис. 69). На диагонали ВD возьмем точку М так, что Ð МСD = Ð ВСА. Тогда, учитывая, что Ð ВАС = Ð ВDС, получим D АВС D DМС. Поэтому .

Из подобия D САD D СВМ (Ð DАС = Ð МВС,

Ð АСD = Ð DСМ – Ð АСМ = Ð АСВ – Ð АСМ = Ð МСВ) получим .

Из полученных пропорций находим

АВ СD = АС МD и ВС АD = АС МВ, откуда

АВ СD + ВС АD = АС (МD + ВМ) = АС ВD.

Отметим, что теорему Птолемея можно получить в качестве непосредственного следствия из теоремы Бретшнайдера. Действительно, для вписанного в круг четырёхугольника Ð А + Ð С = 180°, поэтому

m ² n ² = a ² c ² + b ² d ² – 2 abcd (–1) = (ас + вd)².

Теорема 5. Если произведение диагоналей четырёхугольника равно сумме произведений его противолежащих сторон, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство. Пусть a, b, c, d – длины последовательных сторон четырёхугольника, m и n – длины его диагоналей, А и С противолежащие углы. Пусть так же mn = aс + bd. Тогда m ² n ² = a ² c ² + b ² d ² + 2 abcd.

По теореме Бретшнайдера имеем

m ² n ² = a ² c ² + b ² d ² – 2 abcd cos (Ð A + Ð C).

Сравнив равенства, получим cos (Ð A + Ð C) = –1, откуда Ð A + Ð C = 180º.

Следствие 1. В любом четырёхугольнике произведение его диагоналей не превышает суммы произведений его противолежащих сторон и больше разности этих произведений.

Действительно, по теореме Бретшнайдера

m ² n ² = a ² c ² + b ² d ² – 2 abcd cos (Ð A + Ð C).

Поскольку –1 < cos (Ð A + Ð C) < 1, то

a ² c ² + b ² d ² – 2 abcd < m ² n ² < a ² c ² + b ² d ² + 2 abcd,

или | aс – bd | < mn < aс + bd.

Следствие 2. Утверждение теоремы Птолемея остаётся в силе, если пункты А, В, С, D лежат на одной прямой (рис. 70) и АВ = а, ВС = b, СD = с.

Докажем, что АС ВD = АВ СD + АD ВС.

Имеем АС ВD = (а + b) (b + c) = ab + b ² + ac + bc =

= ac + b (a + b + c) = АВ СD = ВС AD.

Отметим, что если прямую рассматривать как окружность бесконечно большого радиуса, то следствие 2 можно рассматривать как частный случай теоремы Птолемея.

Задача 1 (Теорема Помпея). Доказать, что отрезки, соединяющие произвольную точку М плоскости с вершинами правильного треугольника, могут служить сторонами треугольника АВС, если точка М не принадлежит описанной около треугольника АВС окружности. Найти угол треугольника, образованного отрезками АМ, ВМ и СМ, противолежащий стороне ВМ, если Ð АМС = a.

Решение. По теореме Бретшнайдера, применённой к четырёхугольнику АМСВ, получим

АС ² ВМ ² = АВ ² МС ² + ВС ² АМ ² –

– 2 АВ ВС СМ МА cos (60º + Ð АМС).

Учтя, что АВ = ВС = СА, будем иметь

ВМ ² = МС ² + АМ ² – 2 СМ МА cos (60º + Ð АМС).(1)

Поскольку точка М не принадлежит описанной около треугольника АВС окружности, то Ð АМС = 120º. Кроме того, 60º + Ð АМС > 0º. Поэтому

–1 < cos (60º + Ð АМС) < 1 и МС ² + АМ ² – 2 СМ МА < ВМ ² < МС ² + АМ ² + 2 СМ МА,

или (MC – MA)² < ВМ ² < (MC + MA)², или | MC – MA | < ВМ < | MC + MA |

Отсюда следует, что существует треугольник со сторонами МА, МВ, МС. Из равенства (1) получим, что угол, противолежащий стороне ВМ, равен 60º +a.

Теорема 6. Диагонали вписанного в круг четырёхугольника относятся как суммы произведений сторон, выходящих из концов этих диагоналей.

Доказательство. Пусть четырёхугольник АВСD вписан в круг, АВ = а,

ВС = b, СD = с, DА = а, АС = m, ВD = n (рис. 72).

Образуем ещё два четырёхугольника с такими же сторонами, вписанные в круг такого же радиуса (рис. 73, 74).

Очевидно, что дуга А ₂ В ₂ С ₂ на рис.74 стягивается той же хордой m, что и дуга АВС на рис. 72, дуга В ₁ С ₁ D ₁ – той же хордой n на рис. 73, что и дуга ВСD на рис. 72. Кроме того, дуга А ₁ В ₁ С ₁ на рис. 73 стягивается той же хордой k, что и дуга А ₂ В ₂ С ₂ на рис. 74. Применив к вписанным четырёхугольникам А ₁ В ₁ С ₁ D ₁ и А ₂ В ₂ С ₂ D ₂ теорему Птолемея, получим равенства nk = ab + cd, mk = bc + ad, откуда .

Отметим, что приведённое доказательство существенно отличается от доказательств, рассмотренных ранее, в которых использовалась фигура, описываемая условием теоремы, возможно с дополнительными построениями. В рассмотренном доказательстве образованы новые фигуры, которые только частично содержат элементы исходной фигуры.

Задача 2. (Последовательные) стороны вписанного в круг четырёхугольника равны a, b, c, d. Найти диагонали четырёхугольника.

Решение. Заметим, что условием задачи – длинами сторон и вписанностью – четырёхугольник определен с точностью следования сторон. Возможны только три случая: (a, b, c, d) (рис. 72), (a, c, b, d) (рис. 73), (a, b, d, c) (рис. 74).

Для случая (a, b, c, d) диагонали четырёхугольника связаны равенствами:

xy = aс + bd (по теореме Птолемея), (по теореме).

Перемножив эти равенства, получим х ² = , а поделив первое равенство на второе, получим у ² = , откуда

х ₁ = ; у ₁ = .

Для случая (a, c, b, d) аналогично получим:

х ₂ = ; у ₂ = .

Наконец, для случая (a, b, d, c) будем иметь:

х ₃ = ; у ₃ = .

Теорема 7. Если четырёхугольник АВСD описан около круга, то суммы противолежащих его сторон равны: АВ + СD = АD + ВС.

Доказательство. Пусть M, N, P, Q – точки касания круга со сторонами четырёхугольника АВСD (рис. 75).

Поскольку касательные к кругу, проведённые из одной точки, равны, то АМ = АQ, BM = BN, CP = CN, DP = DQ. Сложив почленно эти равенства получим

АМ + ВМ + СР + DР = АQ + ВN + СN + DQ, или

АВ + СD = АD + ВС.

Теорема 8. Если суммы противоположных сторон четырёхугольника равны, то в него можно вписать круг.

Доказательство. Пусть четырёхугольник АВСD такой, что

АВ + СD = АD + ВС. (1)

Проведём биссектрисы углов А и В. Тогда точка их пересечения находится на одинаковом расстоянии от сторон АD, АВ и ВС этого четырёхугольника. Проведём окружность с центром О и радиусом, равным расстоянию от точки О до прямой АВ. Этот круг касается сторон АD, АВ и ВС данного четырёхугольника. Докажем, что круг касается и стороны СD. Пусть СD ₁ – вторая касательная, проведённая из точки С (рис. 76). Тогда по теореме 7

АВ + С D₁ = ВС + АD ₁. (2)

Если точка D принадлежит отрезку АD ₁, то

CD < DD ₁ + CD ₁. (3)

Вычтя из равенства (2) равенство (1), получим СD ₁ – CD = АD ₁ – АD, или, учтя, что АD ₁ – АD = DD ₁, СD ₁ – CD = DD ₁, что противоречит условию (3).

Если же точка D ₁ принадлежит отрезку АD, то

CD ₁ < DD ₁ + CD. (4)

После вычитания равенства (2) из равенства (1) получим С D – CD ₁ = АD – АD ₁, или, с учётом того, что АD – АD ₁ = DD ₁: СD – CD ₁ = DD ₁ что противоречит (4).

Поэтому точки D и D ₁ совпадают.

Теорема 9. Если четырёхугольник АВСD описан около круга с центром О, то

Ð AОВ + Ð ВОC = 180º, Ð AОD + Ð ВОC = 180º.

Доказательство. Пусть точки M, N, P, Q – точки касания сторон четырёхугольника АВСD и вписанного в него круга с центром О (рис. 77). Тогда из равенств

D АОМ = D АОQ, D ВОМ = D ВОN,

D СОN = D СОР, D DОP = D DОQ получим:

Ð AОМ = Ð AОQ, Ð BОМ = Ð BОN, Ð CОP = Ð CОN,

Ð DОP = Ð DОQ, откуда

Ð AОB + Ð СОD = Ð AОМ + Ð BОM + Ð CОP + Ð DОP =

= Ð AОQ + Ð BОN + Ð CОN + Ð DОQ = Ð BОC + Ð AОQ.

Поскольку Ð AОB + Ð СОD + Ð BОC + + Ð AОD = 360º, то Ð AОВ + Ð ВОC = Ð AОD + Ð ВОC = 180º.