Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Теорема косинусов





3.1. Теорема косинусов является одной из наиболее используемых теорем при решении задач на треугольники. Это:

а) найти сторону треугольника, если известны две другие стороны и угол между ними;

б) найти угол треугольника, если известны три его стороны;

в) найти сторону треугольника, если известны прилежащий к ней угол и две другие стороны.

Задачи а) и б) использованы при решении задачи 1.1.

Задача в), в отличии от задач а) и б), которые всегда решаются однозначно, может иметь 2 решения, 1 решение или ни одного (рис. 3, 4, 5)

 
 

 


В задаче в) даны стороны а и с и угол А, прилежащий к неизвестной стороне АС. Рисунки 3, 4, 5 показывают, как можно построить треугольник АВС по этим элементам и возможные исходы этого построения. Рассмотренная задача на построение треугольника АВС соответствует алгебраической задаче на решение квадратного уравнения

b2 – (2с соsÐА)b + (с2 – а2) = 0,

которое может иметь 2 решения (рис. 3), 1 решение (рис. 4), 0 решений (рис. 5).

3.2. Рассмотрим применение теоремы косинусов.

Теорема 1. Треугольник является остроугольным, прямоугольным или тупоугольным в зависимости от того, меньше, равен или больше квадрат его большей стороны по сравнению с суммой квадратов двух других его сторон.

Доказательство основывается на равенстве соs C = .

Теорема 2. Сумма квадратов диагоналей параллелаграмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Доказательство. Применив к треугольникам АВС и АВD (рис. 6) теорему косинусов, будем иметь:

d = a2 + b2 – 2 ab cosÐ ABC,

d = a2 + b2 – 2 ab cosÐ BAD.

Сложив эти равенства, получим

d + d = 2a2 + 2b2 – 2ab(cosÐ ABC + cosÐ BAD) =

= 2 a2 + 2 b2, поскольку cosÐ ABC + cos Ð BAD = cos(180° – Ð BAD) + cosÐ BAD =

= – cosÐ BAD + cosÐ BAD = 0.

Следствие 1. Квадрат медианы треугольника равен полусумме квадратов сторон, между которыми проходит эта медиана, уменьшенный на квадрат половины стороны, к которой проведена эта медиана:



m =

Доказательство. Продолжим медиану АМ за точку М на такое же расстояние: МА1 = АМ (рис. 7). Тогда АВА1С – параллелограмм, и a2 + (2 ma )2 = 2b2 + 2c2, откуда m = .

Теорема 3 (Стюарта). Для произвольной точки D на стороне ВС треугольника АВС выполняется равенство

АВ2 DC + AC2 BD – AD2 BC = BD DC BC.

Доказательство. Из треугольников АDС и АDВ будем иметь AC2 = AD2 + DC2 – 2 AD DC cos Ð ADC,

AB2 = AD2 + BD2 – 2 AD BD cos Ð ADB.

Учитывая, что Ð ADB = 180° – Ð ADC, и умножив равенства соответственно на BD и DC и сложив их почленно, получим

AB2 DC + AC2 BD = (AD2 + BD22 AD BD cos (180° –Ð ADC)) DC + (AD2 +DC2

2 AD DC cos Ð ADC) BD = AD2 DC + BD2 DC + 2 AD BD DC cos Ð ADC +

+ AD2 BD + DC2 BD – 2 AD BD DC cos Ð ADC = AD2 (DC + BD) +

+ BD DC (BD + DC) = AD2·BC + BD DC BC, откуда

АВ2 DC + AC2 BD – AD2 BC = BD DC BC.







Date: 2015-05-05; view: 661; Нарушение авторских прав



mydocx.ru - 2015-2022 year. (0.023 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию