Примеры движений

У п р а ж н е н и е 1. Найти формулы параллельного переноса. Доказать, что праллельный перенос является движением первого рода. Определить неподвижные точки и неподвижные прямые при параллельном переносе. Доказать, что множество всех праллельных перносов является группой.

У п р а ж н е н и е 2. Поворотом плоскости вокруг точки на угол называется отображение плоскости в себя, при котором точка переходит сама в себя, любая другая точка плоскости переходит в точку такую, что расстояния и равны и угол равен .

Задав на плоскости прямоугольную систему координат , выразите косинус и синус угла через косинусы и синусы углов и , образованных векторами и с вектором . Далее выразите косинусы и синусы углов и через координаты точек и . Убедитесь, что

, , где .

Решая систему относительно и , получим формулы поворота вокруг начала координат: .

Убедиться, что поворот вокруг точки является движением первого рода. Определить неподвижные точки при повороте. Выяснить, что представляет собой поворот на угол . Доказать, что множество всех поворотов с общим центром является группой. Найти формулы поворота вокруг точки .

У п р а ж н е н и е 3. Осевой с имметрией с осью называется отображение плоскости в себя, при котором каждой точке плоскости ставится в соответствие точка, симметричная ей относительно прямой .

Напомним, что каждая точка прямой симметрична сама себе. Точка, не лежащая на прямой , и симметричная ей точка определяют отрезок, перпендикулярный прмой , середина которого лежит на прямой .

Найдите формулы симметрии относительно оси , убедитесь, что осевая симметрия является примером движения второго рода. Найдите неподвижные точки, неподвижные прямые при осевой симметрии. Выясните, что представляет собой композиция двух осевых симметрий с параллельными осями, с пересекающимися осями.

У п р а ж н е н и е 4. Скользящей симметрией называется композиция осевой симметрии и параллельного переноса на вектор, параллельный оси симметрии: .

Показать, что скользящая симметрия является движением второго рода, отличным от осевой симметрии.

Определить неподвижные точки и неподвижные прямые при скользящей симметрии.