Поле бесконечного круглого равномерно заряженного цилиндра

Пусть R – радиус цилиндра. Его заряд будем характеризовать линейной плотностью : это заряд, приходящийся на каждую единицу длины образующей цилиндра. Значит, на любой участок длины l приходится заряд .

Шаг 1. Из соображений симметрии ясно, что линии напряженности начинаются на поверхности цилиндра и идут перпендикулярно его оси – как внутри, так и снаружи. Поле обладает осевой (или аксиальной) симметрией. Напряженность может зависеть только от расстояния r до оси.

Найдем сначала поле снаружи цилиндра.

Шаг 2. Выбираем цилиндрическую поверхность произвольного радиуса r > R, ось которой совпадает с осью заряженного цилиндра. Пусть длина этой уилингдрической поверхности равна l. Поток через торцы равен нулю, а через боковую поверхность

(1).

Шаг 3. Внутри поверхности находится заряд . По теореме Остроградского-Гаусса

(2).

Шаг 4. Сопоставляя выражения (1) и (2) для потока, получаем уравнение:

, откуда

А какое поле внутри заряженного цилиндра?

Выбираем цилиндрическую поверхность радиуса r < R. Соображения о симметрии остаются те же самые, поэтому применимо выражение (1) для потока. С другой стороны, заряд внутри поверхности равен нулю, поэтому и . Значит, внутри заряженного цилиндра .

График зависимости напряженности Е от расстояния r до оси выглядит так: