Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Степенные ряды
|
|
Число 
называется радиусом сходимостистепенного ряда, если при всех 
, для которых 
, степенной ряд сходится, а при всех , для которых 
, степенной ряд расходится.
Радиус сходимости вычисляется по формуле:
.
Промежуток 
называют интервалом сходимостистепенного ряда.
Область сходимостистепенного ряда либо совпадает с его интервалом сходимости, либо получается из этого интервала добавлением одной или обеих граничных точек, т. е. 
и 
.
Пример 53.
Найти радиус и область сходимости степенного ряда 
.
Решение.
1) Воспользуемся формулой для нахождения радиуса сходимости:
, 
,
. 
Таким образом, радиус сходимости равен 
.
2) Интервал сходимости этого ряда 
. Исследуем сходимость этого ряда на концах интервала.
3) 
, получим числовой ряд 
.
Данный ряд расходится.
4) 
, получим числовой ряд 
. Данный ряд расходится.
5) Значит интервал сходимости данного ряда .
Пример 54.
Найти область сходимости степенного ряда 
.
Решение.
1) Найдем радиус сходимости ряда: 
, 
, 
. Радиус сходимости 
.
2) Интервал сходимости равен промежутку 
.
3) Найдём область сходимости. Для этого надо исследовать поведение ряда в точках 
и 
.
a) . Наш ряд примет вид 
.
По признаку Лейбница данный ряд сходится, т. к. все члены ряда по абсолютной величине монотонно убывают (1; 0,5; 0,333; 0,25; 0,2; …) и общий член стремится к нулю 
.
Значит, точку включаем в область сходимости.
b) . Получим расходящийся гармонический ряд 
.
Значит, точку не включаем в область сходимости.
Таким образом, областью сходимости будет промежуток 
.
Пример 55.
Найти область сходимости степенного ряда 
.
Решение.
1) Сделаем подстановку 
. Получим ряд 
Найдем радиус сходимости этого ряда: 
, 
, 
. Радиус сходимости 
.
2) Интервал сходимости ряда равен промежутку 
, Найдём область сходимости этого ряда.
Найдём область сходимости. Для этого надо исследовать ряд в точках 
и 
.
a) .
Наш ряд примет вид 
.
Все члены ряда по абсолютной величине монотонно убывают (1; 0,25; 0,111; 0,063; 0,04; …) и общий член стремится к нулю 
.
По признаку Лейбница данный ряд сходится, значит, точку включаем в область сходимости.
b) 
.
Получим сходящийся гармонический ряд 
.
Значит, точку включаем в область сходимости.
Таким образом, областью сходимости ряда будет промежуток 
.
3) Вернёмся к переменной х 
Таким образом, областью сходимости будет промежуток 
.
Литература:
[1] стр. 392-400, [2] стр. 431-446, [3] стр. 414-416, [5] стр. 391-396
Date: 2015-10-19; view: 422; Нарушение авторских прав