Пример 49

Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд . Если ряд сходится, то определить, сходится он абсолютно или условно.

Решение.

1) Применим теорему Лейбница.

a) Все члены ряда по абсолютной величине монотонно убывают: 0,667; 0,429; 0,316; 0,25; 0,207; ….

b) Общий член ряда стремится к нулю: .

Значит, по теореме Лейбница знакочередующийся ряд сходится.

2) Составим соответствующий знакочередующемуся ряду положительный ряд

.

3) Применим признак Коши. .

Значит, по признаку Коши ряд сходится.

4) Таким образом, знакочередующийся ряд абсолютно сходится.

Пример 51.

Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд . Если ряд сходится, то определить, сходится он абсолютно или условно.

Решение.

1) Применим теорему Лейбница.

a) Все члены ряда по абсолютной величине монотонно убывают: 0,32; 0,053; 0,021; 0,011; 0,007115; ….

b) Общий член ряда стремится к нулю: .

Значит, по теореме Лейбница знакочередующийся ряд сходится.

2) Составим соответствующий знакочередующемуся ряду положительный ряд

.

3) Рассмотрим сходящийся обобщённо -гармонический ряд . Применим предельный признак

сравнения: .

Значит, по предельному признаку сравнения ряд сходится.

4) Таким образом знакочередующийся ряд абсолютно сходится.

Пример 52.

Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд . Если ряд сходится, то определить, сходится он абсолютно или условно.

Решение.

1) Применим теорему Лейбница.

a) Все члены ряда по абсолютной величине монотонно убывают: 2; 2; 1,333; 0,667; 0,267; ….

b) Общий член ряда стремится к нулю: .

Значит, по теореме Лейбница знакочередующийся ряд сходится.

2) Составим соответствующий знакочередующемуся ряду положительный ряд .

3) Применим признак Даламбера. . .

Значит, по признаку Даламбера ряд сходится.

4) Таким образом знакочередующийся ряд абсолютно сходится.

Литература:

[1] стр. 386-390, [2] стр. 420-424, [3] стр. 410-414, [5] стр. 389-391