Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Проверка решения в среде MathCad. Для начала работы нам понадобится представление , в нашей задаче этоДля начала работы нам понадобится представление , в нашей задаче это .
Запись произведём с помощью значка «:=» на панели «Вычисления» или «Калькулятор».
Рисунок 2.8
Затем откроем панель инструментов “ f(x)” («Вставить функцию»). В левом столбце выбираем категорию функции – «Решение дифференциального уравнения», в правом столбце находим функцию Jacob и нажимаем кнопку «ОК».
Рисунок 2.9 Аргументы функции Jacob - две матрицы, записанные через запятую. Первая матрица-столбец – это определённые ранее функции и , вторая – матрица-столбец, состоящая из переменных, по которым будет произведено дифференцирование, в нашей задаче это . Задать матрицу требуемого размера можно с помощью кнопки на панели «Матрица».
Рисунок 2.10 Если далее на панели «Вычисления» выбрать значок , программа выведет на экран матрицу Якоби. Чтобы вычислить её определитель, Якобиан, на панели «Матрица» нажмём на кнопку , вместо х вставим предыдущую запись. Рисунок 2.11 Осталось записать двойной интеграл и сверить полученное нами и вычисленное компьютером значение площади области . Как видим, ошибки нет. Рисунок 2.12
Занятие 3. Вычисление объемов тел с помощью двойного интеграла. Вычисление площади поверхности в декартовых координатах с помощью двойного интеграла. Ауд.: ОЛ-6 №№2198, 2200, 2203, 2219, 2214, 2216 или ОЛ-5 №№8.69, 70, 76, 85, 86, 88 1. Вычисление объемов тел с помощью двойного интеграла. С помощью двойного интеграла можно вычислить объём тела, ограниченного цилиндрической поверхностью, параллельной оси , опирающегося на область в плоскости , и ограниченного сверху поверхностью (см. геометрический смысл двойного интеграла, см. рис. 3.1).
(3.2) (См. рис. 3.2) Пример 3.1 (2200) Найдём объём тела, ограниченного поверхностями: Решение. На рис. 3.3 изображено тело, ограниченное заданными плоскостями. Оно представляет собой пирамиду, сверху ограниченную плоскостью , снизу – плоскостью . По бокам тело ограничивают вертикальные плоскости , , и . Изображённая в правой части рисунка область D – проекция тела на плоскость XOY, которая является x – правильной.
Рисунок 3.3 Вычислим объём данного тела с помощью формулы (3.1):
. Область изображена на рис. 3.3, тело сверху ограничено плоскостью , т.е. . Подставим эту функцию в двойной интеграл. Для всех точек области переменные заключены в пределах и . Перейдём к повторному интегралу и, расставив пределы интегрирования, вычислим его. . Пример 3.2 Вычислим с помощью двойного интеграла объём тела, ограниченного плоскостью , параболоидом и двумя цилиндрами . Решение. На рис. 3.4 изображено тело, ограниченное заданными поверхностями. Спроецируем его на координатную плоскость XOY. Рисунок 3.4 Полученная проекция представляет собой область , заключённую между двумя окружностями. Цилиндрическое тело опирается на эту область и ограничено сверху поверхностью . Составим двойной интеграл для вычисления объёма этого тела, по формуле (3.1): . Исходя из вида подынтегральной функции и области D, делаем заключение, что данный интеграл удобнее вычислять в полярных координатах. Учитывая симметричность тела относительно плоскости , вычислим объём той части тела, которая расположена в первом октанте, и удвоим его. Область интегрирования при этом ограничена так, что . Перейдём к повторному интегралу и вычислим его. . Замечание 1. Если тело ограничено двумя поверхностями, имеющими уравнения и , то чтобы составить уравнение цилиндра, в котором это тело заключено и который проецирует его на плоскость , необходимо из системы этих уравнений исключить переменную . (См.рис.3.2) При этом уравнение полученного цилиндра совпадает с уравнением границы той области , которая является далее областью интегрирования вплоскости . Пример 3.3 Вычислим с помощью двойного интеграла объём тела, ограниченного поверхностями и . Рисунок 3.5 Решение. Построим обе поверхности (правая часть конуса и цилиндр параболический) и тело, ограниченное ими (на рис. 3.5 оно выделено синим цветом). Чтобы составить двойной интеграл для вычисления объёма этого тела, необходимо построить цилиндр такой, чтобы выделенное тело было заключено в нём, и чтобы он проецировал тело на одну из координатных плоскостей в область . В данной задаче удобно спроецировать полученное тело на координатную плоскость . (См. замечание 1) Исключим переменную y из системы уравнений, задающих тело: . Получим . Это уравнение проецирующего цилиндра, а в плоскости это уравнение окружности, ограничивающей область D1. (см. рис. 3.6). Используя формулу (3.2), составим интеграл для вычисления объёма
, где .
С учётом формы области D1 этот интегралвычислим в полярных координатах, введя их следующим образом: . Имеем: .
|