Свойства тройного интеграла. Свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов от функций, непрерывных в рассматриваемых областях

Свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов от функций, непрерывных в рассматриваемых областях.

1. Линейность. Если функции интегрируемы по области , то и их линейная комбинация интегрируема.

2. Аддитивность. Если область V разбита на две области V₁ и V₂, не имеющие общих точек, то

Примечание. Свойства 1 и 2 верны для любого фиксированного числа слагаемых.

3.Сохранение знака. Если в области V , то .

4. Интегрирование неравенств. Если в области V _,

то _,

5. Для знакопеременной функции f(x,y,z) справедливо неравенство:

_.

6. Интеграл от единичной функции по области равен объёму этой области.

(5.2)

7. Теорема об оценке. Если функция интегрируема по области и в этой области , то , где -объём области .

8.Теорема о среднем. Если функция f(x,y,z) непрерывна в замкнутой области V, то в этой области существует точка , такая, что

,

где V – объем данной области.

4.Вычисление тройного интеграла.

Пусть замкнутая ограниченная область проецируется на координатную

плоскость в правильную область и любая прямая, перпендикулярная этой области , пересекает граничную поверхность области в двух точках (одна нижняя и одна верхняя).

Т.е. , где и непрерывные функции в области . Такая область называется правильной.

Теорема. Если - правильная область с кусочно-гладкой границей, - непрерывная функция, то тройной интеграл .

Если область является y- правильной, то двойной интеграл в свою очередь сводится к повторному и

. (5.3)

В тройном интеграле, так же, как в двойном можно менять порядок интегрирования.

Пример 5.1 (2240) Расставим пределы интегрирования в тройном интеграле, , где V – тетраэдр, ограниченный плоскостями

Решение. Построим данные в условии плоскости и выделим тетраэдр, объём которого требуется вычислить (см. рис. (5.2)).

Построенный тетраэдр проецируется в правильную область , расположенную в плоскости , и любая прямая, проходящая через внутреннюю точку перпендикулярно этой области, пересекает граничные поверхности тетраэдра в двух точках, в одной нижней и одной верхней. Т.е. тетраэдр занимает в пространстве правильную область .

При этом . Область является -правильной. Для всех её точек . Переходя к повторному интегралу, расставляем пределы интегрирования.

.

Самостоятельно измените порядок интегрирования, спроецировав тетраэдр в другую координатную плоскость.

Пример 5.2 Вычислим объём тела, ограниченного поверхностями:

Решение. Построим заданные поверхности и выделим тело, объём которого требуется вычислить. (См. рис.5.3) Полученное тело проецируем в плоскость и получаем область - сегмент круга.

Определим границы сектора. Плоскость пересекает параболоид по окружности, которая проецируется в часть границы области :

Ниже приведено подробное вычисление данного интеграла.