Понятие площади поверхности

Пусть G - гладкая (кусочно-гладкая) ограниченная поверхность. Разобьём её гладкими кривыми произвольно на n частей (на n элементарных площадок) так, чтобы каждая из этих площадок однозначно проецировалась на касательную плоскость, проведённую в любой точке элементарной площадки.

На каждой элементарной площадке выберем произвольную точку и проведём через эти точки касательные плоскости к поверхности. Обозначим через площадь проекции каждой элементарной части на свою касательную плоскость. Составим сумму .

Пусть - диаметр элементарной части и .

Если существует предел , то поверхность называется квадрируемой, а число - её площадью.

Наглядным примером и моделью может служить всем известный прибор – зеркальный шар для праздников. Он обклеен множеством плоских зеркальных пластинок. В пределе, при бесконечном возрастании числа пластинок, и, соответственно, уменьшении размера каждой пластинки, сумма площадей пластинок стремится к площади поверхности шара (см. рис. 3.7).

Пусть - уравнение поверхности и - непрерывная дифференцируемая функция. Напомним, что каждый участок поверхности аппроксимируется участком касательной плоскости , нормальным вектором к которой является градиент функции . Представив уравнение поверхности в виде , вычислим градиент:

. Координаты нормированного вектора градиента являются направляющими

косинусами углов , которые градиент образует с осями координат.

Рисунок 3.8

Если спроецировать элементарную площадку на координатную плоскость в элементарную площадку , то получим:

. - аппликата , а именно .

Тогда (см. рис.3.8) и площадь той части поверхности, которая однозначно проецируется в область плоскости , как предел интегральной суммы вычисляется по формуле

(3.3)

Пример 3.4 Вычислим площадь части поверхности полусферы , вырезанной цилиндром .

Решение. Построим заданные поверхности и выделим нужную часть поверхности (на рис. 3.9 она выделена синим цветом). Поверхность проецируется в плоскость в область, ограниченную окружностью .

Вычислим частные производные.

Упростим подкоренное выражение и получим интеграл .

Выберем способ его вычисления. В данном случае удобнее перейти к полярным координатам и учесть симметрию относительно плоскости . Половина области является радиально правильной, где Расставим пределы интегрирования в повторном интеграле и вычислим его.

.

Пример 3.5 В условиях предыдущего примера вычислить площадь боковой поверхности части цилиндра, заключённой между полусферой и плоскостью .

Из системы уравнений, задающих полусферу и цилиндр, исключим переменную y.

Получим . Это уравнение цилиндра параболического. Третьим участком границы области является часть параболы.

Интеграл для вычисления площади поверхности в данном случае имеет вид:

где - уравнение, задающее цилиндр. Эта формула получена из формулы (3.3), в которой роль функции играет , а переменными интегрирования являются и .

Вычислим частные производные.

.

Упростим подкоренное выражение, подставим его в выбранную формулу и вычислим интеграл.

Домашнее задание к занятию 3:

ОЛ-6 №№ 2197, 2199, 2204, 2210, 2213, 2217, 2218 или ОЛ-5 №№ 8.82, 84, 85, 71, 72, 73.

Занятие 4.

Вычисление с помощью двойного интеграла массы материальной пластинки, ее статических моментов, центров масс и моментов инерции.