Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Геометрический смысл модуля и знака Якобиана





Модуль якобиана есть предел отношения площадей бесконечно малых площадок ΔD и ΔD΄.

Геометрический смысл знака якобиана состоит в том, что в случае положительного якобиана ориентации контуров, ограничивающих области D' и D при отображении совпадают, а при отрицательном — отличаются.

3.Двойной интеграл в полярной системе координат(как частный случай).

 

Связь между переменными в декартовой и полярной системах координат:

(см. рис. 2.2)

Рисунок 2.2
(2.5)

 

Рисунок 2.3
Якобиан при переходе в полярную систему координат: . (Убедитесь в этом, вычислив якобиан самостоятельно по формуле (2.2))

Теперь формула (2.3) примет вид:

(2.6)

 

 

Заметим, что при переходе к полярным координатам область не меняется.

Область интегрирования в полярной системе координат назовём радиально правильной, если она заключена в секторе между лучами и и ограничена в нём двумя, не пересекающимися во внутренних точках сектора, кривыми с уравнениями . (См. рис. 2.3)

 
Тогда двойной интеграл по такой области преобразуется в повторный следующим образом:

(2.7)

 

Площадь плоской фигуры в полярной системе координат вычисляется по формуле

(2.8)

Замечание. К полярным координатам удобно переходить, когда подынтегральная функция зависит от и в уравнениях границы области содержится эта же комбинация.

Пример 2.1 Область задана неравенствами , и Преобразуем двойной интеграл в повторный, изменим порядок интегрирования и перейдём к полярным координатам.

 

Решение. Построим заданную область, ограниченную двумя окружностями и прямой (см. рис. 2.4).

Выразим поочерёдно из уравнений всех частей границы, чему равны переменные . Перейдём к полярной системе и выразим

(Обратите внимание на знаки перед корнями!)

Данная область не является - правильной, т.к. её нижняя граница состоит из двух частей. Поэтому разобьём её на две части прямой так, чтобы в каждой из этих частей было по одной нижней границе (см. рис. 2.4).



 

 

Рисунок 2.4

 

Тогда .

В - правильной области переменные изменяются так, что .

В - правильной области имеем .

И тогда

Пределы интегрирования в повторном интеграле расставлены.

Поменяем порядок интегрирования. Область не является - правильной, т.к. её правая граница состоит из двух частей. Поэтому разобьём её на две части прямой так, чтобы в каждой из этих частей было по одной правой границе (см. рис. 2.4). Тогда в - правильной области переменные изменяются так, что , а в - правильной области . И теперь

 

Далее расставим пределы в повторном интеграле, перейдя к полярным координатам. Область в полярной системе координат является радиально правильной, т.к. в ней переменные изменяются так, что Отсюда следует, что

Выполнены все три варианта расстановки пределов в повторных интегралах.

4.Обобщённые полярные координаты.

При решении некоторых задач удобна следующая замена переменных, которая существенно упрощает вычисление интеграла.

,

Здесь переменные называются обобщёнными полярными координатами.

Пример 2.2Вычислим площадь области, ограниченной астроидой .

Решение. Построим астроиду (см. рис. 2.5).

Введём обобщённые полярные координаты: , и показатель α подберём так, чтобы при подстановке в уравнение астроиды получилось уравнение единичной окружности. Для данной задачи такой показатель равен трём.

 

 

Рисунок 2.5

Действительно, , или .

Якобиан отображения при этом равен .

Далее, по формуле (2.4) составим интеграл для вычисления искомой площади :

Область является радиально правильной. Расставим пределы в повторном интеграле и вычислим его.

.

Замечание. После расстановки пределов интегрирования оказалось возможным взять интегралы по и отдельно друг от друга, как их произведение, поскольку пределы внутреннего интегрирования постоянны.

Домашнее задание к занятию 2:ОЛ-6 №№2161, 2163, 2167, 2170, 2181 или ОЛ-5 №№ 8.42, 45, 49, 51, 60, 63.

Дополнительный пример 2.3.Вычислить площадь замкнутой области , образованной пересечением следующих кривых:

Решить задачу с помощью перехода к новой системе координат. Проверить решение в среде MathCad.

Решение.

Если ввести координаты , то в системе координат область отобразится в область , представляющую собой прямоугольник, заключённый в пределах , . (См. рис.2.6)

 

Рисунок 2.6

Для вычисления площади области D применим формулу :

Сначала выразим переменные x и через u и v, так как для вычисления Якобиана преобразования нам необходимо осуществить переход

Получим систему: .

Якобиан преобразования :

Область , напомним, представляет собой прямоугольник (см.рис.2.6), подынтегральная функция может быть разбита на множители, поэтому при переходе от двойного интеграла к повторному он распадётся на произведение двух независимо вычисляемых интегралов:



.






Date: 2015-10-19; view: 2394; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2019 year. (0.007 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию