Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Переход от двойного интеграла к повторному. Расстановка пределов интегрирования





Рисунок 1.4
Для вычисления значения двойного интеграла (1.1) необходимо перейти к повторному интегралу вида (1.4а) или (1.4б) . Способ перехода зависит от вида области D.

Область, ограниченная слева и справа прямыми

и ,

а сверху и снизу - кривыми и , такими, что любая прямая , проведённая через область D, пересекает каждую из кривых и в одной точке, называется

y-правильной. При этом точку А называют точкой входа в область, а точку В – точкой выхода из области.

(см.рис 1.4) То есть область является y-правильной, если

Определив пределы изменения переменных по области D, расставляем пределы интегрирования в повторном интеграле:

. (1.4а)

 

Рисунок 1.5
Аналогично вводится понятие x-правильной области (см. рис. 1.5).

В этом случае имеем и

(1.4б)

 

Пример 1.3. Расставить двумя способами пределы интегирования в двойном интеграле , где D – треугольник с вершинами O(0,0), A(0,1),В(1,1).

Решение. Построим область D. Она одновременно является как

y-правильной, так и x-правильной. Поэтому первый способ расстановки пределов при переходе к повторному интегралу выглядит следующим образом:

для всех точек данной области переменная изменяется между и , а переменная для любого из этих меняется от до , т.е..

Рис. 1.6

. Определив пределы изменения переменных по области D, расставляем пределы интегрирования в повторном интеграле:

 

. (См.(1.4а))

Изменим порядок интегрирования, то есть расставим пределы интегрирования в повторном интеграле вторым способом (См.(1.4б)).

Из рис. 1.6 следует, что для всех точек данной области переменная изменяется между и , а переменная для любого из этих меняется от до . Т.е. Теперь расставляем пределы интегрирования:

 

.

 

Пример 1.4.Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле .

 

Решение. Из данного интеграла следует, что область интегрирования ограничена прямыми , и кривыми , . Построим область D (См. рис. 1.7). Она является y-правильной, но не является x-правильной (См. рис .1.4). Для получения x-правильных областей придётся разбить область D на три части. Определим пределы, в которых меняются переменные по каждой из трёх областей для повторных интегралов вида (1.4б).



 

,

 

 

 

По свойству аддитивности имеем

. Переходя к повторным интегралам вида (1.4б), расставляем пределы интегрирования в каждом из трёх слагаемых и получаем ответ:

.

 

Пример 1.5.Вычислим , где область ограничена линий и .

Решение.

 

Линии, задающие область , пересекаются в точках с абсциссами

Рис. 1.8
и . Построим область и выясним, является ли она правильной (См. рис.1.8). Сравнив данную область с областями, представленными на рис. 1.3 и рис. 1.4, видим, что наша область является y-правильной, но не является x –правильной.

Перейдём от двойного интеграла к повторному вида (1.4а) и вычислим его.

Учтём, что по области D переменные меняются в следующих пределах:

и .

Расставим пределы интегрирования и вычислим интеграл.

 

 






Date: 2015-10-19; view: 2187; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2019 year. (0.006 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию