Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Переход от двойного интеграла к повторному. Расстановка пределов интегрирования
Область, ограниченная слева и справа прямыми и , а сверху и снизу - кривыми и , такими, что любая прямая , проведённая через область D, пересекает каждую из кривых и в одной точке, называется y-правильной. При этом точку А называют точкой входа в область, а точку В – точкой выхода из области. (см.рис 1.4) То есть область является y-правильной, если Определив пределы изменения переменных по области D, расставляем пределы интегрирования в повторном интеграле: . (1.4а)
В этом случае имеем и (1.4б)
Пример 1.3. Расставить двумя способами пределы интегирования в двойном интеграле , где D – треугольник с вершинами O(0,0), A(0,1),В(1,1). Решение. Построим область D. Она одновременно является как y-правильной, так и x-правильной. Поэтому первый способ расстановки пределов при переходе к повторному интегралу выглядит следующим образом: для всех точек данной области переменная изменяется между и , а переменная для любого из этих меняется от до , т.е.. Рис. 1.6 . Определив пределы изменения переменных по области D, расставляем пределы интегрирования в повторном интеграле:
Изменим порядок интегрирования, то есть расставим пределы интегрирования в повторном интеграле вторым способом (См.(1.4б)). Из рис. 1.6 следует, что для всех точек данной области переменная изменяется между и , а переменная для любого из этих меняется от до . Т.е. Теперь расставляем пределы интегрирования:
.
Пример 1.4. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле .
Решение. Из данного интеграла следует, что область интегрирования ограничена прямыми , и кривыми , . Построим область D (См. рис. 1.7). Она является y-правильной, но не является x-правильной (См. рис.1.4). Для получения x-правильных областей придётся разбить область D на три части. Определим пределы, в которых меняются переменные по каждой из трёх областей для повторных интегралов вида (1.4б).
,
По свойству аддитивности имеем . Переходя к повторным интегралам вида (1.4б), расставляем пределы интегрирования в каждом из трёх слагаемых и получаем ответ: .
Пример 1.5. Вычислим , где область ограничена линий и . Решение.
Линии, задающие область , пересекаются в точках с абсциссами
Перейдём от двойного интеграла к повторному вида (1.4а) и вычислим его. Учтём, что по области D переменные меняются в следующих пределах: и . Расставим пределы интегрирования и вычислим интеграл.
|