Геометрический смысл двойного интеграла. Если f(x,y)>0, то двойной интеграл численно равен объёму тела, нижним основанием которого является область

D, ограниченного цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси OZ, и поверхностью . См. рис. 1.2 (1.3)

Рассмотрим пример непосредственного вычисления двойного интеграла.

Пример 1.1. Вычислить двойной интеграл по области D от функции , если .

.

В подавляющем большинстве случаев вычисление пределов интегральных сумм представляет собой сложную и трудновыполнимую задачу. Для достижения результата эффективнее использовать повторный интеграл.

4. Повторный интеграл.

Повторным называется двойной интеграл вида (1.4а) или (1.4б).

При вычислении первого из указанных повторных интегралов сначала берётся внутренний интеграл по переменной , при этом играет роль параметра. Затем полученную функцию интегрируют по переменной x.

, где - первообразная функции по , т.е. .

Аналогично, , где .

Пример1.2. Вычислить повторный интеграл: .

Решение. В ычислим сначала внутренний интеграл, при этом множитель , играющий роль параметра (не зависящего от переменной интегрирования), вынесем за знак этого интеграла.