Структура ортогонального оператора

Лемма. Пусть j: Е® Е - ортогональный оператор, ЕÉ L -

j- инвариантное подпространство. Тогда L ^{^} - j- инвариантное

подпространство.

Доказательство. " хÎ L, y Î L ^{^} (j x, j y) = (x, y) = 0 Þ j(L ^{^} ) ^ j L. Но j L = L (так как j|_L – ортогональный и невырожденный) Þ j(L ^{^} ) ^ L Þ j(L ^{^} )Í L ^{^} (на самом деле, j(L ^{^} ) = L ^{^}, так как j на L ^{^} - ортогональный и невырожден-

ный).

ÿ

Пусть j: Е^п ® Е^п - ортогональный оператор. По теореме из п. 16.7 в Е^п $ L₁ - j- инвариантное подпространство размерности 1 или 2. Тогда по лемме L₁ ^{^} - j- инвариантное подпространство, и Е^п = L₁ Å L₁ ^{^}. Так как j на L₁ ^{^} - ортогональный оператор, то в L₁ ^{^} $ L₂ - j- инвариантное подпространство размерности 1 или 2, и ортогональное дополнение L¢ к L₂ в L₁ ^{^} также j- инвариантно. Далее,

Е^п = L₁ Å L₂ Å L¢, и в L¢ $ L₃ - j- инвариантное подпространство размерности 1 или 2, и так далее. В конце концов, мы получим разложение Е^п = L₁ Å L₂ Å…Å L_q, где все L_i –

j- инвариантны, попарно ортогональны, и можно считать, что dimL₁ = dimL₂ =…= dimL_s = 2, dimL_s+1 =…= dimL_q = 1.

Если L – евклидово пространство размерности 1, L = <e>, и j: L ® L - ортогональный оператор, то j е = a е,

(j е,j е) = (е,е) Þ a ²(е,е) = (е,е) Þ a ²=1, a = ±1 Þ j = ± id.

Если же L – евклидово пространство размерности 2,

L = <и₁, и₂>, где {и₁, и₂} – ортонормированный базис в L, и

j: L ® L - ортогональный оператор, то | j и₁| = | и₁| = 1 Þ j и₁= cosa × и₁+ sin a × и₂; | j и₂|= | и₂|=1, (j и₂,j и₁)=(и₂, и₁)= = 0 Þj и₂ = ±(-sina × и₁ + cos a × и₂).

a) Если j и₂= -sina × и₁+ cos a × и₂, то [ ] = ,

и j - поворот L на угол a против часовой стрелки.

б) Если j и₂= sina × и₁ - cos a × и₂, то [ ] = , и характеристический многочлен c_j(t)= t² – 1. Для собственных значений t_1,2 = ±1 $ два собственных вектора е₁, е₂. Так как (j е₁, j е₂)= (+е₁, - е₂)= (е₁, е₂), то (е₁, е₂) = 0, е₁ ^ е₂. Пусть L¢ = <e₁>, L¢¢ = <e₂>. Тогда L = L¢ Å L¢¢ - прямая

сумма одномерных взаимно ортогональных j- инвариантных

подпространств таких, что j|_L¢ = id, j|_L¢¢ = - id.

В разложении Е^п = L₁ Å L₂ Å…Å L_q выберем в каждом L_i ортонормированный базис. Объединение и этих базисов является ортонормированным базисом в Е^п. В этом базисе матрица ортогонального оператора j имеет клеточно-диаго- нальный вид:

[ ] = ,

где П(a_i) = . Заметим, что = П(p), = П(0). Таким образом, нами доказана структурная

Теорема. Для любого ортогонального оператора

j: Е^п ® Е^п $ ортонормированный базис и евклидова пространства, в котором матрица j имеет вид:

[ ] = . (19.1)

В матрице -1 и 1 взяты в скобки, что означает, что эти элементы могут присутствовать, а могут и отсутствовать. Верно и обратное утверждение: если [ ] имеет вид (19.1), то j -

ортогональный оператор.

На языке матриц теорему можно сформулировать так:

Для любой ортогональной матрицы А $ ортогональная матрица Т (матрица перехода к новому ортонормированному базису) такая, что матрица Т ^-1АТ имеет вид (19.1).

Очевидно, любая матрица вида (19.1) – ортогональная.

Лекция 31.